《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》指出：有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。学生的数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。根据“课标”精神，我在一次九年级复习研讨课上，围绕“已知一个纸片矩形”利用各省市考题进行一次别开生面的复习。
问题一：不用度量器，在一张长5厘米，宽4厘米的矩形纸片上折一条长度为无理数的折痕。
解：根据题意知，此矩形的对角线长厘米，折出对角线即可。
问题二：如图一，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点Ｂ重合，点C落在C′处，折痕为EF，若∠ABE＝20°，那么∠EFC′的度数为（　　）度。
解:∵∠ABE＝20°，∴∠AEB＝70°。
由折叠可知∠BEF＝∠DEF，∴∠DEF＝55°。
∴∠EFC′＝360°―（90°＋90°＋55°）=125°。
问题三：如图二，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm.点E，F分别在AB，CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在矩形ABCD外部的点A′，D′处，则整个阴影部分图形的周长为（　　）。
A．18cm    B.36cm    C.40cm    D.72cm
解：由折叠知，DF＝D′F，AE＝A′E，AD＝A′D′，
所以整个阴影部分图形的周长=矩形ABCD的周长=36cm。
问题四：把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图三方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF。若AB＝3cm，BC＝5cm，则重叠部分△DEF的面积是（　　）cm2。
解：由题意可知，CD＝AB＝A′D，∠C＝∠A，∠CDF＝∠ADE
∴△DFC≌△DEA′，∴CF＝A′E＝AE，
在Rt△DCF中，设CF＝x，则DF＝5－x，
由勾股定理知3２＋x２＝（5－x）２，
∴x=1.6，∴CF＝A′E＝AE＝1.6，DE＝5－1.6＝3.4
∴S△D E F ＝（1/2）×3.4×3＝5.1
问题五：如图四，有一矩形纸片ABCD，AB＝6，AD＝8，将纸片折叠使AB落在AD边上，折痕为AE，再将△ABE以BE为折痕向右折叠，AE与CD交于点F，则CF/CD的值是（　　）。
A．1  B.1/2  C.1/3  D.1/4
解：由题意及折叠知，△ECF～△ADF，
∴CF/DF＝CE/AD ＝（8－6）/(8－4) ＝1/2，∴CF/CD＝1/3.　选C。
问题六：如图五，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝2，点P是边BC上的动点（点P不与B，C重合），过点P作直线PQ∥BD，交CD边于点Q，再把△CPQ沿着直线PQ对折，点C的对应点为R。设CP＝x，△PQR与矩形ABCD重叠部分的面积为y。
⑴求∠CPQ的度数；
⑵当x取何值时，点R落在矩形ABCD的边AB上？
⑶当R在矩形ABCD外部时，求y与x的函数关系式及此时函数值y的取值范围。
解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC。
又知AB＝6，AD＝2，∠C＝90°，
∴CD＝6，BC＝2，
tan∠CBD＝CD/CB＝6/2＝
∴∠CBD＝60°。
∵PQ∥BD，∴∠CPQ＝∠CBD=60°。
⑵由轴对称的性质可知，△RPQ≌△CPQ，∴∠RPQ＝∠CPQ，RP＝CP。
由⑴知∠RPQ＝∠CPQ＝60°，∴∠RPB＝60°，∴RP＝2BP。
∵CP＝x，∴PR＝x，PB＝(2)－x
在△RPB中，根据题意得2（2－x）＝x，
∴x＝。
⑶当R在矩形ABCD的外部时（如图六），＜x＜2，
在Rt△PFB中，∵∠RPB＝60°,
∴PF＝2PB＝2（2－x）.
又∵RP＝CP＝x，∴RF＝RP－PF＝3x－4。
在Rt△ERF中，∵∠EFR＝∠PFB=30°，
∴ER＝x－4，
∴S△ERF＝(1/2)ER×FR＝x２－12x＋8，
∴y＝S△RPQ－S△ERF＝x２－（x２－12x＋8）＝ x２＋12x－8
∴当＜x＜2时，＜y＜4。
通过这节课，我领悟到：
1.折叠将动手操作和利用数学知识解决问题有机结合起来，教学中能充分体现“课标”要求；
2.折叠将现实生活中的问题通过建立模型转化成为数学问题，能很好培养学生利用建模思想去思考和解决问题；
3.折叠能很好地培养学生空间思维，提高他们的空间能力；
4.从折叠衍生的问题如万花筒，能充分激发学生合作探究的积极性，充分调动他们学习的积极性和主动性；
5.数学真奇妙，还要方法好。
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