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从一道高考压轴题谈一类数列型不等式的证明

作者: 时间:2012-02-07 阅读:( )

从一道高考压轴题谈一类数列型不等式的证明
四川绵阳南山中学  曾皓
    近年来,“ 型问题”又成为高考考查的热点问题,并且常在压轴题中出现,下面给出近几年的高考题,分析处理这类问题的解题思路.
   09四川理科22题:设数列 的前 项和为 ,对任意的正整数 ,都有 成立,记 .
(I)求数列 的通项公式;
(II)记 ,设数列 的前 项和为 ,求证:对任意正整数 都有 ;
(III)设数列 的前 项和为 。已知正实数 满足:对任意正整数 恒成立,求 的最小值。
    本文只就第(II)问展开讨论和研究.
由(I)知 ,
= ,
因此, 是严格单调递增数列,但是想直接利用 = 进行求和,是办不到的,为了证明 ,就必须寻找一个形成简单的数列 作为纽带,原不等式的证明转化为证明: .
方法一:裂项——错位两项抵消或运算结果恒为负
若能将 裂项成两相邻之差的形式,通过错位两项相互抵消,可将 化为n项的代数和的形世,达到化简的目的.
 
解:
= =
当 时, .
当 时,
= .
方法二:放缩――化归为无穷递缩等比数列求和问题
可以考虑将数列 的通项放大成等比数列 ,即寻找常数m ,使得 成立,如果存在,则可将它转化为无穷递缩等比数列求和的问题.
解:根据已知条件求出 ,得 (或更小的数),我们只要能得到 (或更小的数),就能达到证明目的.为此以 为桥梁,利用其有界性,适当放大,就可建立起 与 的关系式,即 .
由(I)知 , .
先证明:对任意的正整数n,都有 成立.      
只须证:
令 只须证:144
当 时, 显然成立.
= .
一般地,不能直接求和的数列,应该怎样进行转化?可以奇偶并项、错位相减、倒序相加、裂项相消、放缩控制等常规方法.上面几种方法都可以一般化解决“ 型问题”,从而为我们寻求解决这类问题的方法提供启示.
以下是一例类比练习,读者不妨试一试.
06全国卷1理科22题 设数列 的前 项的和 ,
(Ⅰ)求首项 与通项 ;(Ⅱ)设 , ,证明:
提示:由(Ⅰ)问得  (Ⅱ)
所以, = .
 
 
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