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从一道高考压轴题谈一类数列型不等式的证明

作者：　时间：2012-02-07 阅读：( )

从一道高考压轴题谈一类数列型不等式的证明
四川绵阳南山中学  曾皓
    近年来，“ 型问题”又成为高考考查的热点问题，并且常在压轴题中出现，下面给出近几年的高考题，分析处理这类问题的解题思路.
   09四川理科22题：设数列 的前 项和为 ，对任意的正整数 ，都有 成立，记 .
（I）求数列 的通项公式；
（II）记 ，设数列 的前 项和为 ，求证：对任意正整数 都有 ；
（III）设数列 的前 项和为 。已知正实数 满足：对任意正整数 恒成立，求 的最小值。
    本文只就第（II）问展开讨论和研究.
由（I）知 ，
＝ ，
因此， 是严格单调递增数列，但是想直接利用 ＝ 进行求和，是办不到的，为了证明 ，就必须寻找一个形成简单的数列 作为纽带，原不等式的证明转化为证明： .
方法一：裂项——错位两项抵消或运算结果恒为负
若能将 裂项成两相邻之差的形式，通过错位两项相互抵消，可将 化为n项的代数和的形世，达到化简的目的.
 
解：
＝ ＝
当 时， .
当 时，
＝ .
方法二：放缩――化归为无穷递缩等比数列求和问题
可以考虑将数列 的通项放大成等比数列 ，即寻找常数m ，使得 成立，如果存在，则可将它转化为无穷递缩等比数列求和的问题.
解：根据已知条件求出 ，得 (或更小的数)，我们只要能得到 (或更小的数)，就能达到证明目的.为此以 为桥梁，利用其有界性，适当放大，就可建立起 与 的关系式，即 .
由(I)知 ， .
先证明：对任意的正整数n，都有 成立.      
只须证：
令 只须证：144
当 时， 显然成立.
= .
一般地，不能直接求和的数列，应该怎样进行转化？可以奇偶并项、错位相减、倒序相加、裂项相消、放缩控制等常规方法.上面几种方法都可以一般化解决“ 型问题”，从而为我们寻求解决这类问题的方法提供启示.
以下是一例类比练习，读者不妨试一试.
06全国卷１理科22题　设数列 的前 项的和 ，
（Ⅰ）求首项 与通项 ；（Ⅱ）设 ， ，证明：
提示：由（Ⅰ）问得  (Ⅱ)
所以, = .
 
 
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