递归在C语言中的实现

摘要：递归是一种十分有用的程序设计技术。在大多数程序程序设计中，递归在算法的描述中被经常采用，很多问题可以用递归算法求解。例如，如阶乘函数和Fibonacci（斐波纳契）数列等。由于递归算法省略了程序设计中的许多细节操作，简化了程序设计过程，使得在求解许多复杂问题时，采用递归算法比不用递归算法要简单得多，并且程序结构清晰、易读，正确性容易验证，这给用户编制程序和调试程序带来很大方便。因此，掌握递归程序设计方法很有必要。

关键词：递归；算法；调用；返回；汉诺塔

笔者从事C语言程序设计教学有多年，阅读了不少关于C语言程序设计的教程，这些教程对递归算法的描述都比较简单，并没有就递归调用的递推和回推过程做语句上的单步分析，只是用自然语言对算法过程做了简单说明，这对学生去学习递归调用是很抽象的，短时间内，学生很难掌握用递归技术来解决实际问题。因此，有必要对其进行深入探讨，分析其概念及算法结构特点，分析其设计方法和实现过程，以此来帮助学生加深对递归算法思想的进一步理解，学会正确的应用递归解决实际问题。

一 递归算法的概念

计算机要完成人们预先定义的工作，首先应该设计完成这个工作的步骤和方法，即算

法。然后再根据算法编写程序。算法是问题的求解过程的精确描述，求解一个问题往往有多种算法可供选择，选择标准首先是算法的正确性、可靠性、可读性等，其次是算法所需存储空间和时间的消耗。算法设计是一件非常复杂的事情，在处理实际问题时，为了更好地将复杂的问题变得简单，在设计算法时常常采用递归的方法。

所谓递归，就是指用自身的结构来描述自身，以实现层次数据结构的查询和访问。用递归概念来描述的算法就称为递归算法。在《C语言程序设计》第三版教程中，对递归的调用是用函数的方式来说明的，它指出：在调用一个函数的过程中又出现直接或者间接地调用该函数本身，称为函数的递归调用。递归算法常用于递归调用方面，即函数自己调用自己。C语言允许一个自定义函数在函数的内部调用自己，这样的函数就叫递归函数。

二 递归算法的设计方法

递归算法既是一种有效的算法设计方法，也是一种有效的分析问题的方法。递归算法求解问题的基本思想是：对于较为复杂的问题，把原问题分解成若干个相对简单且类同的子问题，这样原问题就可递推得到求解。

当一个问题存在上述构成递归的条件时，该问题便可以利用递归算法进行处理。具体的设计方法是：当所求解问题难于直接求解时，首先，把问题分解成若干个难度较小、较容易求解的子问题，子问题与原问题具有类同的结构。如果子问题能够直接求解，则解之；如果子问题仍不能直接求解，将每个子问题再分解成若干个更简单的子问题，直到分解出的子问题能够很容易地求解或解为已知，这是实现递归的模板。然后，设计递归出口(即结束递归的边界条件)，在满足出口条件时，递归函数不能再调用自己，必须返回一个确定的值。将这两个方面的问题分析好之后，就可以在子程序体中定义递归调用了。

在通常情况下，递归调用都是要受到条件控制的，而且在被调用的过程中，会对调用条件进行有规律的修改，直到满足边界条件，返回边界值，结束递归；然后按照原来的路径逐层返回，求出原问题的解。由此可知，递归算法设计的关键在于递归描述和递归终止条件。　　

三 递归算法的实现过程

递归算法的执行过程是不断地自调用，直到到达递归出口才结束。然后，递归算法开始按最后调用的过程最先返回的次序逐层返回，返回到最外层的调用语句时递归算法执行过程结束。可见，递归的实现过程包含了“调用”(或者叫递推)和“返回”（或者叫回推）两个阶段。

许多问题都是可以利用递归算法进行求解的。C语言中一个最常用例子就是计算n!

用递归法计算n!可用下述公式表示：

n!=1 (n=0,1)

n×(n-1)! (n>1)

按公式可编程如下：

#include <stdio.h>

#include <conio.h>

long ff(int n) /*递归函数*/

{

long f;

if(n<0) printf("n<0,input error");

else if(n==0||n==1) f=1;

else f=ff(n-1)*n; /*调用ff()函数*/

return(f);

}

main()

{

int n;

long y;

printf("\ninput a inteager number:\n");

scanf("%d",&n);

y=ff(n);

printf("%d!=%ld",n,y);

}

程序中给出的函数ff是一个递归函数。主函数调用ff 后即进入函数ff执行，如果n<0,n==0或n=1时都将结束函数的执行，否则就递归调用ff函数自身。由于每次递归调用的实参为n-1，即把n-1的值赋予形参n，最后当n-1的值为1时再作递归调用，形参n的值也为1，将使递归终止。然后可逐层退回。

上例也可以不用递归的方法来完成。如可以用循环结构，即从1开始乘以2，再乘以3…直到n。循环结构比递归法更容易理解和实现。但是有些问题则只能用递归算法才能实现。典型的问题是Hanoi塔问题。

有些问题无法直接使用递归公式，而要通过一个递归过程来描述。例如，大家所熟知的汉诺塔问题：一块板上有三根针，A，B，C。A针上套有64个大小不等的圆盘，大的在下，小的在上。要把这64个圆盘从A针移动C针上，每次只能移动一个圆盘，移动可以借助B针进行。但在任何时候，任何针上的圆盘都必须保持大盘在下，小盘在上。求移动的步骤。

可编程如下：

move(int n,int x,int y,int z)

{

if(n==1)

printf("%c-->%c\n",x,z);

else

{

move(n-1,x,z,y);

printf("%c-->%c\n",x,z);

move(n-1,y,x,z);

}

main()

{

int h;

printf("\ninput number:\n");

scanf("%d",&h);

printf("the step to moving %2d diskes:\n",h);

move(h,'a','b','c');

}

从程序中可以看出,move函数是一个递归函数，它有四个形参n,x,y,z。n表示圆盘数，x,y,z分别表示三根针。move 函数的功能是把x上的n个圆盘移动到z上。当n==1时，直接把x上的圆盘移至z上，输出x→z。如n!=1则分为三步：递归调用move函数，把n-1个圆盘从x移到y；输出x→z；递归调用move函数，把n-1个圆盘从y移到z。在递归调用过程中n=n-1，故n的值逐次递减，最后n=1时，终止递归，逐层返回。

此程序根据对问题的递归描述写出，结构清楚，易理解。因涉及递归，所以其调用的执行过程可能很复杂。但如果不用递归方法，问题又可能很难处理。因此，在算法描述过程中，只需把以上算法的三步过程设计好，再考虑一个盘子时的情况(递归出口)怎样处理就可以了。

从上述分析中，可以认为，看问题能否用递归算法，先不要考虑具体的执行过程，只要满足上述构成递归的条件即可。在C程序设计中使用递归时还应注意，在定义递归函数时，一般先使用if语句进行递归测试，找到递归结束的条件，然后再进行递归调用。

以上示例是递归应用的典型。很多人认为递归不易理解，这是把递归狭隘化了，但是对递归的理解不能因此受到限制，递归程序的复杂程度比一般程序要高很多。递归算法使程序清晰直观，是程序设计中很重要的方面，但递归在计算机中的执行过程却很复杂，需要占用较大的内存空间和较多的系统时间来进行频繁进出和转移操作，执行效率很低。所以，在C程序设计过程中，并不一味追求递归。如果一个问题的求解过程明显是通过循环处理方法即可方便解决的，则不必要使用递归。反之，在对问题进行分解、求解的过程中得到的是和原问题性质相同的子问题，由此自然得到一个递归算法，且它比实现非递归算法更符合人们的思维逻辑，则应该使用递归。因此，使用递归应扬长避短，只有真正掌握递归这个有效的编程方法，才能提高编程能力和编程效率。

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