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球的补丁

作者：未知　时间：2012-07-18 阅读：( )

摘要：在上教版高三数学教材中关于球的体积公式有这样一句叙述：由祖暅原理和圆柱、圆锥的体积公式可得球的体积其中为球的半径；在球面距离一节中，教材叙述道：我们可以证明，在连接球面上两点的路径中，通过两点大圆劣弧最短。以上两个问题对深刻理解球的性质至关重要，但是教材均未给出详细阐述。

关键词：深刻、完善、补丁。

现将上述的两个问题作如下的详细证明，取名曰球的补丁。
首先推导球的体积公式：如图所示：







将一个底面半径和高都是的圆柱中挖去一个一圆柱的上底为底、下底面的中心为顶点的圆锥，和一个半径为的半球，将两个几何体夹在两个平行平面之间，用一个与圆柱下底面距离为并且平行于底面的平面去截这两个几何体，得到两个截面的面积都等于，所以这两个几何体的体积相等，所以，于是。
接下来说明球面距离定义的合理性：如图，








球面上经过两点的大圆和经过两点任作的一个小圆。求证劣弧


证明：将上述问题转化到同一平面内,如图












设圆与圆的公共弦，设
则欲证，只需证即证，即证，只需证明函数在上是减函数，由于上海教材中还未引入导数，下面就用初等方法证明该该函数为减函数（使用的工具主要是若则）：任取 且，要证
，
又，，所以
。从而函数为减函数，所以劣弧。
   我们相信，只要这两个问题深刻理解了，那么对于球的相关知识不再停留在模糊的记忆水平，本节内容的掌握也将更系统和完善。


作者：陆敬山   上海市崇明中学
 
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