一、高考怎么考

　　集合部分几乎是高考必考内容，而函数部分则是高考的重点，不等式或者单独命题或者与其他相关知识相结合综合考查考生的分析问题、解决问题的能力.集合部分如果单独考查，主要考查集合与集合之间的关系以及集合的基本运算.函数相关性质的考查，是高考考查的重点.而且通常会与集合、不等式、方程、数列等知识结合，考查考生的综合能力.不等式部分具有一定的特色，其中线性规划部分是考查的重点，而解不等式以及基本不等式也不能轻视.

　　从题型上来讲，集合部分的考题主要以选择填空题的形式出现.就基本初等函数题目而言，考查范围涉及到函数的方方面面，难度覆盖面也很广，但也基本以选择填空题的形式出现.不等式部分的考题大致也是以选择填空题出现.

　　从难度上来讲，如果单纯考查集合的概念以及相关运算，属容易题.但是如果将集合与排列组合、数列等知识相结合，则难度变大，属难题.高考对函数知识要求是很高的，考查函数单一性质的简单题目不多;大都是函数性质之间的综合考查，例如图像与解不等式结合、周期性、单调性、奇偶性相结合等等，较难题的比例较大.而不等式部分的题目由于知识点的限制，以及素质教育的需求，难度有所下降，属中等难度题.

　　本专题全国高考客观题主要考查函数的基本性质、函数图像及变换、函数的零点、导数的几何意义、定积分(仅限理科)等为主，也有可能与不等式等知识综合考查;解答题主要是以导数为工具解决函数、方程、不等式等的应用问题.

　　理科在“函数导数与积分”的考查：利用定积分求面积，利用导数研究函数的性质，以求函数的单调性、极值、最值为主，考查不等式的相关问题.

　　函数、导数选择题考查函数单调性与奇偶性、定积分求面积、由解析式找图像、利用导数求切线、距离最值问题、利用导数研究函数的单调性等，填空题考查基本的初等函数与函数的性质.

　　文科在“函数导数”的考查：函数的基本性质主要考查函数的单调性、奇偶性等，难度通常为中等，基本初等函数通常考查指数函数与对数函数，有时候会与函数的图像、函数与方程等相结合，考查数形结合思想的灵活应用，有时候也会融入导数的应用等，这类题目通常难度偏大，一般作为选择题或填空题的压轴题出现.

　　对导数的考查通常以函数的单调性、函数的极值或最值、不等式的证明或不等式恒成立问题为载体，考查导数的综合应用.在解决这类问题时，有时候需要对问题进行转化或构造相应的函数，因此对等价转化、数形结合的数学思想也有较高的要求，正确求出函数的导数，并灵活应用导致与单调性的关系是解题的关键.从这几年的命题规律来看，这一部分通常出现在第20题或21题的位置，题型比较稳定. 小题中主要考查基本初等函数、函数的性质等，而解答题中主要考查导数在解决函数问题中的综合应用，且ex或lnx总会出现其一，小题中有时候也会对导数进行考查.

　　函数与导数版块，是中学数学中最重要的主干知识，其观点及其思想方法贯穿整个高中数学教学的全过程，是历年来高考考查力度最大的主干知识.《考纲》是这样诠释：这是因为函数的基础知识在现实生活及其他学科中有着广泛的应用，运用函数的思想方法可以构造描述客观世界的一些重要数学模型，而且函数的基础知识和思想方法又是进一步学习数学和其他学科的重要基础，因此对函数知识和思想方法的考查是高考的一个聚焦点.高考考纲对集合、简易逻辑、函数、导数的考查要求：

　　“了解”层次的知识

　　(1)集合、映射的概念;

　　(2)指数函数模型的实际背景;

　　(3)对数在简化运算中的作用;

　　(4)指数函数与对数函数互为反函数;

　　(5)幂函数的概念;

　　(6)函数零点与方程根的关系;

　　(7)指数函数，对数函数，幂函数的增长特征;

　　(8)函数模型的广泛运用;

　　(9)定积分的基本思想与概念;

　　(10)微积分基本定理的含义.

　　“理解、掌握”层次的知识

　　(1)集合的含义与表示，集合间的基本关系和集合的基本运算;

　　(2)理解函数的单调性，最大(小)值及其几何意义;

　　(3)理解有理指数幂的含义，掌握幂的运算;

　　(4)理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点;

　　(5)理解对数的概念及其运算性质;

　　(6)理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点.

　　“会用”层次的知识

　　(1)会求一些简单函数的定义域与值域;

　　(2)会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数;

　　(3)能简单应用不超过三段的分段函数;

　　(4)会用基本初等函数的图像分析函数的性质;

　　(5)能求简单函数的导数，能求简单复合函数(内为一次函数)的导数;

　　(6)能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次);

　　(7)会用导数求函数的极大值，极小值，会求闭区间上函数的最大值，最小值(其中多项式函数不超过三次).

　　二、高考怎么复习

　　以下重点谈谈函数与导数的复习：

　　(一)调整复习策略，重新定位

　　根据近几年全国课标卷以两小一大的题量、进行比较全面的考查，关注导数及其应用，侧重考查利用导数研究函数图像的性态，重视对函数的图像与性质问题的考查，常以初等函数为背景设计综合题，一般以压轴题的形式出现的特点.因此函数与导数的复习应突出基础性和综合性，要准确理解概念，掌握通性通法，学会融会贯通，要会利用函数解决某些简单的实际问题.

　　尤其要关注以下几个问题：

　　一是关注函数的图像与性质，包括定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、周期性、极值、最值等基本内容，强化化归与转化、分类与整合、函数与方程、数形结合等数学思想方法在解题中的作用.

　　【例1】设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论正确的是( )

　　A. f(x)g(x)是偶函数 B. f(x)g(x)是奇函数

　　C. f(x)g(x)是奇函数 D. f(x)g(x)是奇函数

　　【解析】设F(x)=f(x)g(x)，则F(-x)=f(-x)g(-x)，∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴F(-x)=-f(x)g(x)=-F(x)，F(x)为奇函数，选C.

　　【点评】本题主要考查函数性质.要求熟练掌握函数常见性质和解题的常见方法.

　　二是关注函数与方程、不等式、数列等相结合的综合问题，要发挥导数的工具性作用，如应用导数研究函数的单调性、极值和最值以及不等式的证明等.

　　【例2】设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a，其中a<1，若存在唯一的整数x0，使得f(x0)<0，则a的取值范围是( )

　　【点评】导数的综合应用，函数图像是函数性质的直观载体，“以形辅数”是数形结合思想的重要体现.

　　三是关注实际生活中的应用问题，掌握解决这类题型的一般步骤.

　　(二)从四个方面突破函数与导数复习难关.

　　1. 突出函数概念、性质的基础作用

　　①函数概念性强，函数性质是数学解题的重要工具，尤其是函数定义域、值域、奇偶性、单调性、对称性、周期性等是高考的重点.这些性质在具体问题的解决中有着重要的基础作用，因此在复习中对每一个概念、性质必须让学生正确地理解与掌握，只有对每一个概念的内涵外延全面的把握，准确的理解，才能在应用时得心应手.

　　【点评】本题对互为反函数的图像的特征提出了一定要求.全国卷的考察有时会涉及反函数的基本知识，这点要引起重视.

　　②尤其要重视函数的概念、图像及变换的复习，分段函数、绝对值函数蕴含着分类讨论与数形结合思想要引起足够重视.二次函数的最值讨论、二次不等式解的讨论与二次函数零点分布是导数题基础，要过好关.平时多训练利用函数单调性、奇偶性、对称性、周期性的关系描绘函数图像，掌握图像的平移、翻折、对称变换，能够自觉运用图像解题(数形结合法)，其中对称性蕴含着从特殊到一般的数学思想要重点加强.

　　【例4】已知函数f(x)=-x2+2x，x≤0ln(x+1)，x>0若f(x)≥ax，则a的取值范围是( )

　　A. (-∞，0] B. (-∞，1] C. [-2，1] D.[-2，0]

　　【解析】

　　当a>0时，y=ax与y=f(x)恒有公共点，所以排除B，C;

　　当a≤0时，若x>0，则f(x)≥ax恒成立.

　　若x≤0，则以y=ax与y=-x2+2x相切为界限，

　　由y=ax，y=x2-2x，得x2-(a+2)x=0.

　　∵Δ=(a+2)2=0，∴a=-2.作出函数图像，利用数形结合易知答案选D.

　　【点评】抓住函数的图像翻折和单调性并发现“临界点”是快速解不等式的重要依据，如果把式f(x)≥ax具体化，需要分类，情形比较复杂，本题对能力要求较高.

　　③导数应用中求函数单调区间、极值、最值求解是基础，讨论函数单调区间、极值、最值是热点，特别是函数在区间上单调与不单调问题解决思想方法丰富应受到重视.函数零点问题有多种转化形式也是热点，多训练应用函数与方程思想解决零点问题.

　　2. 强化导数在函数问题解决中的工具作用

　　①近几年函数高考题型发生的明显的变化，多为可利用导数知识求解的问题.为适应新高考需要，函数解题必须充分发挥导数的工具作用，根据新的教材特点改变解题方法和途径，避免复习时把函数与导数等知识分割开来.应在复习中互相渗透，尽可能利用导数等知识居高临下的研究函数的性质及图形变化特征，发挥导数在解题中的应用.特别要关注导数的几何意义以及性质的内涵，能熟练应用结合意义和性质灵活处理函数问题.导数几何意义与切线相关问题基本是必考点，熟练导数运算.

　　②关注利用导数破解函数图像的特征、研究方程根及其性质.有些函数直接难作出图像，但利用导数性质得到函数一些特征后再做草图则容易奏效.

　　3. 把握函数作为高中数学知识中的主干知识

　　① 函数作为高中数学的重要基础知识，历来是高考的重热点问题，它内容丰富、应用广泛、贯穿于高中教学的始终.函数与导数还经常与常用逻辑用语进行交汇，考查逻辑推理论证能力.

　　②特别是函数与方程、不等式、数列、向量、最值、求参数的取值范围等知识之间都有密切联系，以这些交汇知识进行命题是命题改革的一种趋势，又由于导数的工具作用，解答题都是把函数与导数连成一体，因此必须予以重视.由不等式恒成立问题求解参数范围是常考题型，要重视对不等式恒成立问题解决方法的总结.

　　③导数与不等式恒成立问题、不等式证明问题是难点，新课标近几年此类问题的共同特点是避免整体对待，强调讨论分解函数，化归转化为一个相对简单函数或两个函数来突破，这是这类问题解决的一个思维方向.

　　【例6】已知函数f(x)=x2+ax+b，g(x)=e2(cx+d)，若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线y=4x+2.

　　(Ⅰ)求a，b，c，d的值;

　　(Ⅱ)若x≥-2时， f(x)≤kg(x)，求k的取值范围.

　　【解析】(Ⅰ)由已知得 f(0)=2， g(0)=2，f′(0)=4，g′(0)=4，

　　而f′(x)=2x+b，g′(x)=ex(cx+d+c)，∴a=4，b=2，c=2，d=2.

　　(Ⅱ)由(Ⅰ)知，f(x)=x2+4x+2，g(x)=2ex(x+1)，

　　设函数F(x)=kg(x)-f(x)=2kex(x+1)-x2-4x-2(x≥-2)，

　　F′(x)=2kex(x+2)-2x-4=2(x+2)(kex-1)，

　　有题设可得F(0)≥0，即k≥1，

　　令F′(x)=0，得x1=-lnk，x2=-2.

　　(1)若1≤k0，即F(x)在(-2，x1)单调递减，在(x1，+∞)单调递增，故F(x)在x=x1取最小值F(x1)， 而F(x1)=2x1+2-x21-4x1-2=-x1(x1+2)≥0，

　　∴当x≥-2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立，

　　(2)若k=e2，则F′(x)=2e2(x+2)(ex-e2)，

　　∴当x≥-2时，F′(x)≥0，∴F(x)在(-2，+∞)单调递增，而F(-2)=0，

　　∴当x≥-2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立，

　　(3)若k>e2，则F(-2)=-2ke-2+2=-2e-2(k-e2)<0，

　　∴当x≥-2时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立，

　　综上所述，k的取值范围为[1，e2].

　　【点评】本题主要考查利用导数的几何意义求曲线的切线、函数单调性与导数的关系、函数最值，考查运算求解能力及应用意识，是中档题.

　　研究不等式f(x)>0在区间A上恒成立，求其中参数a的取值范围问题，一般有两种方法：

　　第一种方法，直接转化为研究带参数的动态函数y=f(x)在区间A上的最小值.由于函数y=f(x)带有参数，它在区间A上的单调性会由于参数a的不同而变化，因此需要分类讨论.由于函数y=f(x)的单调性和其导函数在区间A上的零点个数有关，问题最后都归结为就函数y=f′(x)在区间A上的零点个数进行分类讨论.

　　第二种方法，是将不等式f(x)>0作变形，将参数a和变量x进行分离，将不等式转化为h(a)>g(x)(或h(a)　　4. 重视函数知识在实际中的载体作用

　　函数的广泛应用近年越来越受到重视，以函数知识为载体的实际应用题在近年高考中经常出现，学会建立函数模型，应用所学知识解决应用题是数学能力的体现，必需重视和加强.

　　(三)以思维能力为核心，全面提升能力.

　　1. 应注重数学思维能力的训练，合理利用有关材料，在知识交汇处设置问题，培养观察、分析、解决问题的能力，特别要培养思维意识，审题中能抓住思维起点，结合有关知识能够合乎逻辑地准确表述推理过程，训练推理论证能力.

　　2. 高考提倡“多思少算”，但并不意味着不要运算.复习中应关注运算能力的训练，培养合理、准确的运算能力.

　　3. 重视数学思想在函数与导数解题中的应用.复习中要始终渗透函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化、特殊与一般、或然与必然、有限与无限等思想，要注意通性通法的训练，淡化特殊技巧.复习时要注意知识的交叉、融合和渗透，帮助学生进行归纳、梳理、总结和提升，从中把握规律，领会本质，掌握数学思想方法，提高学科素养

　　(四)复习中在全面复习的同时关注课本例习题、发挥典型问题的作用，在精选与挖掘上下工夫，落实提高复习效益.

　　关键在于如何按照国家《考试大纲》和《考试说明》中的考查内容与要求，提高高三数学复习效益，在有限的时间获得最大的复习效益，高三复习例题的选择与挖掘应有教学价值是提高复习效果的关键，要充分发挥课本例、习题和一些典型问题的作用，通过对例、习题的研究，发挥其应有的价值，再通过引变式、引伸，充分挖掘课本例习题的应有作用，以不变应万变，同时可以帮助学生归纳、提炼必要的数学知识精华，让知识简单化、通俗化、条理化.略举一例以其引起重视.

　　总之，函数与导数是高考重要考点， 复习中应以全国考试大纲为依据，以考试说明为指导，以函数的基本概念和性质为主线，引导学生利用导数的“工具”作用，培养用导数分析函数性质的意识，渗透数形结合，分类讨论，函数与方程等数学思想方法，提高解决问题能力，以适应高考改革对复习的新要求.