残数定理与复变函数的积分

摘要: 本文讨论了残数定理与复变函数积分之间的内在联系,举例说明了残数定理与柯西定理、柯西公式和高阶导数公式之间的密切关系。

关键词:复变函数;残数定理;柯西定理;柯西公式;高阶导数公式

在复变函数中,残数定理是复变函数论中的重要组成部分,在复变函数理论的发展和应用中都有重要意义。作为复变函数的积分和复变函数的级数相结合的产物,残数定理与复变函数的积分有着深刻的内在联系，理解和掌握它们之间的密切关系,对学好复变函数论是非常必要的。本文首先证明,在不同的条件下,利用残数定理可以分别得到复变函数积分中的柯西定理、柯西公式和高阶导数公式,然后举例说明。

1、残数定理与复变函数积分间的关系

由残数定理:若函数在Ｄ内除有限个孤立奇点外解析,则 (1)

其中是在的无心邻域0<｜ - ｜< 中的罗朗级数的系数，称为在ｚ= 的残数。

1)若被积函数在积分回路Ｌ内为解析函数,则在Ｌ内无奇点,故被积函数的残数为零。由残数定理(1)式,有

(2)

(2)式即为复变函数积分的柯西定理:单通区域内的解析函数沿闭路的积分为零。

2)若被积函数在积分回路Ｌ内有一阶极点,考察积分 ,其中a为积分回路Ｌ的内点,则ｚ=ａ是被积函数的一阶极点。由残数定理(1)式以及一阶极点残数的计算公式,有

所以　 (3)

(3)式即是复变函数积分的柯西公式。

3)若被积函数在积分回路Ｌ内有ｎ+1阶极点,考察积分 ,其中ａ为积分回路Ｌ的内点,则ｚ=ａ是被积函数的ｎ+1阶极点。由残数定理(1)式以及ｎ+1阶极点残数的计算公式,有

所以 (4)

(4)式为复变函数积分的高阶导数公式。

由以上讨论可以得出,残数定理与复变函数积分中的柯西定理、柯西公式和高阶导数公式之间的关系为:

柯西定理实际上是被积函数在积分区域内为解析函数的残数定理;

柯西公式实际上是被积函数在积分区域内有一阶极点的残数定理;

高阶导数公式实际上是被积函数在积分区域内有ｎ+1阶极点的残数定理。理解了残数定理与复变函数积分中的柯西定理、柯西公式和高阶导数公式之间的内在联系以后,原来在“复变函数的积分”一章中的习题,现在都可以用残数定理来做了。只要掌握了各种情况下残数的求法就可以了,而且有时解题会显得更为简捷。

2例题

分别用柯西定理或柯西公式或高阶导数公式以及残数定理计算下列积分。

例　

解1　因为使被积函数无意义的点ｚ=3在积分圆域｜ｚ｜=2的外边,被积函数在积分回路内为解析函数。由柯西定理(2)式,

得

解2　用残数定理求解。因为被积函数在积分回路｜ｚ｜=2内无奇点,故其残数

为零。由残数定理(1)式,

得

通过以上例题可以看出,在计算复变函数的积分时,残数定理与柯西定理、柯西公式和高阶导数公式实际上是等价的。然而,残数定理却以简洁的形式包含了复变函数积分的三个重要的定理和公式。只要能准确判断被积函数的奇点类型,掌握了可去奇点,ｍ阶极点以及本性奇点的残数的计算方法,复变函数的积分就可以容易地用残数定理计算出来。需要说明的是,残数定理的真正应用价值并不仅局限于用来替代复变函数积分中的定理和公式,而是将复变函数论具体用来计算一些在实函数中未能解决的积分问题。利用残数定理和关于ｍ阶极点的残数计算,可以将某些本来是非常复杂的几乎无法下手的实函数积分,变得极其简单。这对于研究实际问题来说是很有实用价值的。

参考文献：

[1]刘连寿、王正清.数学物理方法[Ｍ].北京:高等教育出版社,1990

[2]汪德新.数学物理方法[Ｍ].武汉:华中理工大学出版社,1997

[3]梁昆淼.数学物理方法[Ｍ].北京:高等教育出版社,1997

[4]钟玉泉，复变函数论[Ｍ].北京:高等教育出版社,1988