代数式初步知识

1. 代数式

用运算符号“＋ － × ÷ …… ”连接数及表示数的字母的式子称为代数式。

 

注意：用字母表示数有一定的限制，首先字母所取得数应保证它所在的式子有意义，其次字母所取得数还应使实际生活或生产有意义；单独一个数或一个字母也是代数式。

 

2. 列代数式的几个注意事项

（1）数与字母相乘，或字母与字母相乘通常使用“· ” 乘，或省略不写。

 

（2）数与数相乘，仍应使用“×”乘，不用“· ”乘，也不能省略乘号。

 

（3）数与字母相乘时，一般在结果中把数写在字母前面，如a×5应写成5a

 

（4）在代数式中出现除法运算时，一般用分数线将被除式和除式联系，如3÷a写成

的形式；

 

（5）a与b的差写作a-b，要注意字母顺序；若只说两数的差，当分别设两数为a、b时，则应分类，写做a-b和b-a .

 

3. 几个重要的代数式

 

（1）a与b的平方差是：a2-b2； a与b差的平方是：（a-b）2

 

（2）若a、b、c是正整数，则两位整数是：10a+b；则三位整数是：100a+10b+c。

 

（3）若m、n是整数，则被5除商m余n的数是：5m+n；偶数是：2n，奇数是：2n+1；三个连续整数是：n-1、n、n+1。

 

（4）若b＞0，则正数是:a2+b ，负数是：-a2-b，非负数是：b2 ，非正数是：-b2 。

 

有理数

1. 有理数

(1)凡能写成

（a、b都是整数且a≠0）形式的数，都是有理数。正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数。（注意：0即不是正数，也不是负数；-a不一定是负数，+a也不一定是正数；p不是有理数）

(2)有理数中，1、0、-1是三个特殊的数，它们有自己的特性；这三个数把数轴上的数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性。

(3)自然数是指0和正整数；a＞0，则a是正数；a＜0，则a是负数；a≥0 ，则a是正数或0（即a是非负数）；a≤0，则a是负数或0（即a是非正数）。

 

2. 数轴

数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.

 

3. 相反数

(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0。

 

(2)注意：a-b+c的相反数是-a+b-c；a-b的相反数是b-a；a+b的相反数是-a-b；

 

(3)相反数的和为0时，则a+b=0；即a、b互为相反数。

 

4. 绝对值

(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数。（注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离）。

 

(2)绝对值可表示为|a|。

 

(3)|a|是重要的非负数，即|a|≥0。（注意：|a|·|b|=|a·b|）。

 

5. 有理数比大小

（1）正数的绝对值越大，这个数越大；

（2）正数永远比0大，负数永远比0小；

（3）正数大于一切负数；

（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；

（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；

（6）大数-小数 ＞ 0，小数-大数＜ 0.

 

6. 互为倒数

乘积为1的两个数互为倒数。（注意：0没有倒数；若 a、b≠0，那么

的倒数是

；倒数是本身的数是±1；若ab=1，则a、b互为倒数；若ab=-1，则a、b互为负倒数。

 

7. 有理数加减法则

（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

（3）一个数与0相加，仍得这个数。

 

8. 有理数加减的运算律

（1）加法的交换律：a+b=b+a 。

（2）加法的结合律：（a+b）+c=a+（b+c）。

 

9. 有理数乘法法则

减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b）。

 

10. 有理数乘法法则

（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘。

（2）任何数同零相乘都得零。

（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定。

 

11. 有理数乘法的运算律

（1）乘法的交换律：ab=ba。

（2）乘法的结合律：（ab）c=a（bc）。

（3）乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac。

 

12. 有理数除法法则

除以一个数等于乘以这个数的倒数。（注意：零不能做除数）

 

13. 有理数乘方的法则

（1）正数的任何次幂都是正数；

（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数。注意：当n为正奇数时: (-a)n=-an或(a -b)n=-(b-a)n , 当n为正偶数时: (-a)n =an 或 (a-b)n=(b-a)n。

 

18. 乘方的定义

（1）求相同因式积的运算，叫做乘方。

（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂。

（3）a2是重要的非负数，即a2≥0；若a2+|b|=0 ，则a=0，b=0。

（4）底数的小数点移动一位，平方数的小数点移动二位。

 

15. 科学计数法

把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法。

 

16. 近似数的精确度

一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位。

 

17. 有效数字

从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字。

 

18. 混合运算法则

先乘方，后乘除，最后加减。注意：怎样算简单，怎样算准确，是数学计算的最重要的原则。

 

19. 特殊值法

是用符合题目要求的数代入，并验证题设成立而进行猜想的一种方法,但不能用于证明。

 

整式的加减

1. 单项式

在代数式中，若只含有乘法（包括乘方）运算。或虽含有除法运算，但除式中不含字母的一类代数式叫单项式。

 

2. 单项式的系数与次数

单项式中不为零的数字因数，叫单项式的数字系数，简称单项式的系数；系数不为零时，单项式中所有字母指数的和，叫单项式的次数。

 

3. 多项式

几个单项式的和叫多项式。

 

4. 多项式的项数与次数

多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多项式的项；多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数；注意：（若a、b、c、p、q是常数）

和

是常见的两个二次三项式。

 

5. 整式

凡不含有除法运算，或虽含有除法运算但除式中不含字母的代数式叫整式。

 

6. 同类项

所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式是同类项。

 

7. 合并同类项法则

系数相加，字母与字母的指数不变。

 

8. 去（添）括号法则

去（添）括号时，若括号前边是“+”号，括号里的各项都不变号；若括号前边是“-”号，括号里的各项都要变号。

 

9. 整式的加减

整式的加减，实际上是在去括号的基础上，把多项式的同类项合并。

 

10. 多项式的升幂和降幂排列

把一个多项式的各项按某个字母的指数从小到大（或从大到小）排列起来，叫做按这个字母的升幂排列（或降幂排列）.注意：多项式计算的最后结果一般应该进行升幂（或降幂）排列。

 

一元一次方程

1. 等式与变量

用“=”号连接而成的式子叫等式。注意：“等量就能代入”。

 

2. 等式的性质

等式性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。

 

等式性质2：等式两边都乘以（或除以）同一个不为零的数，所得结果仍是等式。

 

3. 方程

含未知数的等式，叫方程。

 

4. 方程的解

使等式左右两边相等的未知数的值叫方程的解；注意：“方程的解就能代入”。

 

5. 移项

改变符号后，把方程的项从一边移到另一边叫移项.移项的依据是等式性质1。

 

6. 一元一次方程

只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程。

 

7. 一元一次方程的标准形式

ax+b=0（x是未知数，a、b是已知数，且a≠0）。

 

8. 一元一次方程的最简形式

ax=b（x是未知数，a、b是已知数，且a≠0）。

 

9. 一元一次方程解法的一般步骤

整理方程 — 去分母 — 去括号 — 移项 — 合并同类项 — 系数化为1 —（检验方程的解）。

 

10. 列一元一次方程解应用题

（1）读题分析法：多用于“和，差，倍，分问题”。

仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套等”，利用这些关键字列出文字等式，并且据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程。

 

（2）画图分析法：多用于“行程问题”

利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系（可把未知数看做已知量），填入有关的代数式是获得方程的基础。

 

11. 列方程解应用题的常用公式

（1）行程问题：距离=速度·时间

（2）工程问题：工作量=工效·工时

（3）比率问题：部分=全体·比率

（4）顺逆流问题：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度；

（5）商品价格问题：售价=定价·折；利润=售价-成本， ；

（6）周长、面积、体积问题：C圆=2πR，S圆=πR2，C长方形=2(a+b)，S长方形=ab， C正方形=4a，

S正方形=a2，S环形=π(R2-r2),V长方体=abc ，V正方体=a3，V圆柱=πR2h ，V圆锥= πR2h。

 

 

 

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