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以点带面 精彩纷呈

作者:鏈?煡 时间:2017-08-17 阅读:( )

  刘媚

  【关键词】 二次函数;知识发散;综合运用

  二次函数部分的知识在中考中占相当重要的位置。学生学时觉得吃力,教师教时觉得费劲。我在听了一位老教师的“二次函数复习课”后深受启发,借鉴这位老师的复习过程,用学案的形式贯穿课堂,学生学得轻松,步步深入,效果甚佳。现我把这些略加梳理编辑成文,供数学同仁们参阅,能提出更完善的建议。

  一、导入阶段

  问题一:已知二次函数的图像经过点A(-1,0)、B(3,0)、C(2,-3),求此二次函数的解析式,并画出它的图像。

  【点评】用待定系数法求二次函数解析式是必须掌握的基础题。解决方法有三种:(1)一般式y=ax?+bx+c(a≠0)、(2)顶点式y=a(x+h)?+k(a≠0)、(3)两根式y=a(x-x1)(x-x?)(a≠0)。选择哪一种方法必须根据问题的要求而定,而对于本题来说运用两根式更便捷。

  【解】设所求二次函数为y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)

  y=a(x+1)(x-3)

  又过点c: -3=a(2+1)(2-3)

  解之: a=1

  ∴ 所求二次函数解析式为y=(x+1)(x-3)

  即 y=x?-2x-3

  图像略,但在后面将在此图像上不断探究。

  二、回顾性质

  问题二:针对所求的 y=x?-2x-3回顾思考下列问题 ①开口方向; ②对称轴方程; ③顶点坐标; ④最大(小)值; ⑤增减性。

  【点评】此处可以师生互动给出二次函数的性质,同时说明其性质取决于两个方面,一方面是顶点坐标,把上述二次函数配方得y=(x-1)?-4联想到顶点式y=a(x+h)?+k(a≠0)能得到对称轴方程,顶点坐标。另一方面由a决定开口方向,最大(小)值和增减性,同时采用“数形结合”“分类讨论”的思想解决问题将能使学生更能理解。

  【解】把y=x?-2x-3配方成y=(x-1)?-4

  ① ∵a=1>0 ∴抛物线开口向上

  ②对称轴方程为x=1

  ③顶点坐标(1,-4)

  ④当x=1时,有最小值为-4

  ⑤∵a>0 ∴当x>1时,y随着x的增大而增大

  当x<1时,y随着x的增大而减小

  三、知识发散

  问题三:由y=x?-2x-3的图像,设抛物线与y轴的交点为D,顶点坐标为P,①求直线BD的解析式;②△APB是等腰三角形吗?说明理由;③△BDP是何形状的特殊三角形?④△AOD和△BDP相似吗?说明理由;⑤试求四边形ABPD的面积。

  【点评】二次函数知识难在把几何图形镶嵌到直角坐标系中,与二次函数图像巧妙地结合在一起。教师必须有层次地把直角三角形、等腰(等边)三角形、特殊的四边形、圆等分别量入进行分析,能解决基础性的综合题。而本题③中还将与勾股定理相结合,④中相似三角形相结合,⑤中学生讨论最为热烈,方法也最多,老师要小结出最好方法。

  【解】①由图形信息可得点B(3,0) 和D(0,-3)

  设BD的解析式为y=kx+b

  ∴直线BD解析式为:y=x-3

  ②∵抛物线是关于直線x=1成轴对称图形

  ∴ AP=BP

  ∴△APB是等腰三角形

  ③由勾股定理易得:BD?=18 PD?=2 PB?=20

  ∴BD?+PD?=PB?

  ∴△BDP是以PB为斜边的直角三角形

  ④∵= ==

  ∴=

  ∵∠AOD=∠BDP=90?

  ∴△AOD∽△PBD

  ⑤S四边形ABPD=S△OBP+S△ODP+S△AOD

  ==9

  四、综合运用

  问题四:根据y=x?-2x-3的图像,作直线x=a(0

  【点评】针对本题中求线段EF的最大值,实际上就是确定点E和F的坐标,用纵坐标“上减下”的方法就可。

  【解】当x=a时,点E(a,a-3)点F(a,a?-2a-3)

  EF=(a-3)-(a?-2a-3)=-a?+3a=-(a-)?+

  ∴当a=时,线段EF最大值为

  而△BDF的面积的最大值也迎刃而解

  S△BDF=

  =

  如果学生学有余力或可供学生在课外思考,还可有备用题,如:①在抛物线上取点Q,解使S△ABQ= S△ABD ;②求经过点A、B、P 三点的圆的圆心坐标。

  不妨请你试一下定能有所收获。

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