刘媚

　　【关键词】 二次函数;知识发散;综合运用

　　二次函数部分的知识在中考中占相当重要的位置。学生学时觉得吃力，教师教时觉得费劲。我在听了一位老教师的“二次函数复习课”后深受启发，借鉴这位老师的复习过程，用学案的形式贯穿课堂，学生学得轻松，步步深入，效果甚佳。现我把这些略加梳理编辑成文，供数学同仁们参阅，能提出更完善的建议。

　　一、导入阶段

　　问题一：已知二次函数的图像经过点A(-1，0)、B(3，0)、C(2，-3)，求此二次函数的解析式，并画出它的图像。

　　【点评】用待定系数法求二次函数解析式是必须掌握的基础题。解决方法有三种：(1)一般式y=ax?+bx+c(a≠0)、(2)顶点式y=a(x+h)?+k(a≠0)、(3)两根式y=a(x-x1)(x-x?)(a≠0)。选择哪一种方法必须根据问题的要求而定，而对于本题来说运用两根式更便捷。

　　【解】设所求二次函数为y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)

　　y=a(x+1)(x-3)

　　又过点c： -3=a(2+1)(2-3)

　　解之： a=1

　　∴ 所求二次函数解析式为y=(x+1)(x-3)

　　即 y=x?-2x-3

　　图像略，但在后面将在此图像上不断探究。

　　二、回顾性质

　　问题二：针对所求的 y=x?-2x-3回顾思考下列问题 ①开口方向; ②对称轴方程; ③顶点坐标; ④最大(小)值; ⑤增减性。

　　【点评】此处可以师生互动给出二次函数的性质，同时说明其性质取决于两个方面，一方面是顶点坐标，把上述二次函数配方得y=(x-1)?-4联想到顶点式y=a(x+h)?+k(a≠0)能得到对称轴方程，顶点坐标。另一方面由a决定开口方向，最大(小)值和增减性，同时采用“数形结合”“分类讨论”的思想解决问题将能使学生更能理解。

　　【解】把y=x?-2x-3配方成y=(x-1)?-4

　　① ∵a=1>0 ∴抛物线开口向上

　　②对称轴方程为x=1

　　③顶点坐标(1，-4)

　　④当x=1时，有最小值为-4

　　⑤∵a>0 ∴当x>1时，y随着x的增大而增大

　　当x<1时，y随着x的增大而减小

　　三、知识发散

　　问题三：由y=x?-2x-3的图像，设抛物线与y轴的交点为D，顶点坐标为P，①求直线BD的解析式;②△APB是等腰三角形吗?说明理由;③△BDP是何形状的特殊三角形?④△AOD和△BDP相似吗?说明理由;⑤试求四边形ABPD的面积。

　　【点评】二次函数知识难在把几何图形镶嵌到直角坐标系中，与二次函数图像巧妙地结合在一起。教师必须有层次地把直角三角形、等腰(等边)三角形、特殊的四边形、圆等分别量入进行分析，能解决基础性的综合题。而本题③中还将与勾股定理相结合，④中相似三角形相结合，⑤中学生讨论最为热烈，方法也最多，老师要小结出最好方法。

　　【解】①由图形信息可得点B(3，0) 和D(0，-3)

　　设BD的解析式为y=kx+b

　　∴直线BD解析式为：y=x-3

　　②∵抛物线是关于直線x=1成轴对称图形

　　∴ AP=BP

　　∴△APB是等腰三角形

　　③由勾股定理易得：BD?=18 PD?=2 PB?=20

　　∴BD?+PD?=PB?

　　∴△BDP是以PB为斜边的直角三角形

　　④∵= ==

　　∴=

　　∵∠AOD=∠BDP=90?

　　∴△AOD∽△PBD

　　⑤S四边形ABPD=S△OBP+S△ODP+S△AOD

　　==9

　　四、综合运用

　　问题四：根据y=x?-2x-3的图像，作直线x=a(0

　　【点评】针对本题中求线段EF的最大值，实际上就是确定点E和F的坐标，用纵坐标“上减下”的方法就可。

　　【解】当x=a时，点E(a，a-3)点F(a，a?-2a-3)

　　EF=(a-3)-(a?-2a-3)=-a?+3a=-(a-)?+

　　∴当a=时，线段EF最大值为

　　而△BDF的面积的最大值也迎刃而解

　　S△BDF=

　　=

　　如果学生学有余力或可供学生在课外思考，还可有备用题，如：①在抛物线上取点Q，解使S△ABQ= S△ABD ;②求经过点A、B、P 三点的圆的圆心坐标。

　　不妨请你试一下定能有所收获。