线面垂直的另一判定方法

 河南省汝阳县第一高级中学   陈红旗 

一节复习课上，让学生探究练习《全日制普通高级中学教科书》第二册（下B）第80页A组第6题，十分钟后，学生纷纷举手发言，气氛异常热烈，师生共同总结，给出了下面八种证明方法。写出来，与大家共同分享学生智慧火花受到激发带来的喜悦。

题目：如果直线AB与平面α相交于点B，且与α内过点B的三条直线BC、BD、BE所成的角相等，求证：AB⊥α

分析：该题从不同的角度分析，有不同的证明方法。

·从线在平面内的射影分析有证法1。

证法1：∵AB与BC、BD所成角相等

∴A点在面α上的射影∠CBD的平分线l₁上

又∵AB与BD、BE所成角相等

∴A点在面α上的射影在∠DBE的平分线l₂上

又l₁∩l₂＝B ∴A在面αH R在面α上的射影为B

         ∴AB⊥面α

·从cosθ=cosθ₁·cosθ₂ 出发有证法2。

证法2：共线的直线BC、BE、BD位置不定

∴∠EBC与∠CBD的大小不定

设∠ABD＝θ,∠DBP＝θ₁ , ∠ABP＝θ₂ ,              BP为AB在面α上的射影 则cosθ=cosθ₁·cosθ₂ ①

①是关于cosθ₁有无数个解的方程。

∴cosθ=0 ,cosθ₂=0 ∴θ＝90⁰,θ₂＝90⁰

∴AB⊥BD

同理AB⊥BC,AB⊥BE    ∴AB⊥α

·从线面垂直的判定定理考虑有证法3及证法4。

证法3：取BE＝BC＝BD，连  AC、AD取A'B=AB

连A'C、A'D取CD中点为P

∵△ACB≌△ABD ∴AC=AD ∴AP⊥CD

同理△A'CB≌△A'BD ∴A'C=A'D ∴A'P⊥CD

∴CD⊥面AA'P ∴A'A⊥CD

同理取DE中点为Q，则有A'A⊥DE

∴AB⊥面α

证法4：（图见证法三）∵AB与BC、BD成等角 ∴∠ABC＝∠ABD

       取BC＝BD 则△ABC≌△ABD ∴AC＝AD

 取CD中点为P，则BP⊥CD AP⊥CD

       ∴CD⊥面ABP  ∴AB⊥CD

       同理取BD＝BE可得AB⊥DE  ∴AB⊥面α。

·向量是证明几何的有力工具，用向量证明有证法5

证法5：（向量法）取| ｜＝｜ ｜＝| ｜

       与 、 、 所成角均相等 故有 · ＝ · ＝ ·

由 · ＝ · · ＝0 ∴AB⊥DC

     同理 · ＝ · · ＝0 ∴AB⊥DE

     ∴AB⊥面α

·考虑球的截面的性质有证法6    

证法6：取BC＝BD＝BE则B为过C、D、E的圆的圆心