反弹琵琶意如何————浅析补集思想方法在数学问题解决中的体现

作者：　时间：2012-02-07 阅读：( )

【摘要】：本文通过抓住一些重要词语，对数学问题中一类特殊的典型例题进行简要的分类介绍，阐述了补集思想方法在代数、几何中的具体体现，分析了补集思想在数学问题解决中的妙用以及需注意的问题，并作了简单的归纳小结。

【关键词】：补集思想；反面；逆向思维；转化

“反弹琶琶”，意即反其意而用之，是逆向求异思维的一种形式和结果，是经过了多种多样方向的“求异”之后，最终确定了朝原来的“信息”相反 (或相对)的方向发展的一种表现，即是一种逆向求异思维。“反弹琵琶”，因其能够突破思维定势，从人们容易忽视甚至遗忘的角度切入，或从常规的反面入手，往往会曲径通幽，别有洞天。运用逆向思维的方法，立意才会有新的意境，发人深省。

同样，在某些数学问题中，如果直接从正面求解比较困难，甚至无法求解，从而思维受阻，我们可以尝试从反面着手去解决，采取“反弹琵琶”的补集思想解题策略：通过抓住一些重要词语作为突破口，求出使问题反面成立的集合，则集合的补集即为所求。实际上补集思想方法是转化命题形式，化繁为简，化难为易，从而达到解题目的。补集思想在代数、几何中都有广泛的应用，下面就补集思想在集合、不等式、方程、函数、圆锥曲线、排列组合、概率问题、立体几何等方面的具体体现作简要的介绍，浅析“反弹琵琶”的妙用：

一、 在集合中的体现

例1.设集合，若，求实数的取值范围。

分析：，说明集合是方程 ① 的实根组成的非空集合，并且方程①的根有：（1）两负根；（2）一负根一零根；（3）一负根一正根，三种情况，总结起来就是“至少有一个负根”，分别求解比较麻烦，这时我们可以从考虑问题的反面“方程①两根均为非负根”入手，利用补集思想，即先由△≥0，求出全集，然后求方程①两根均为非负时的取值范围，最后再利用“补集”求解。

解：设全集

若方程的两根均为非负实根，则

∵ 关于的补集为，∴ 实数的取值范围为 .

例2．已知集合 , ，若，求实数的取值范围。

分析：本题若直接去解，情形较复杂，也不容易

求得正确结果，“ ”的反面是“ ”，若我们先考虑其反面，再求其补集，同样也可以求解。

解：由题意，易解得 , ,

我们不妨先考虑当时的范围。如图，由图可知，要使，则

有，　　　得

∴ 或 .

即时的范围为或 .而时的范围显然是其补集,从而易知所求的范围为 .

二、 在不等式中的体现