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闭区间上二次函数的最值求法

作者：　时间：2012-02-07 阅读：( )

二次函数在闭区间上的最值是函数中最常见、最基本的问题. 影响二次函数在闭区间上的最值主要有三个因素：抛物线的开口方向、对称轴和区间的位置 。将二次函数最值问题作为专题进行探讨，既可以提高学生综合运用函数性质的能力、又可以提高学生配方、计算的能力；更重要的是能够渗透分类讨论与数形结合的思想方法，促进学生研究性学习，本文结合实例说明该类问题求解方法，供读者参考。
一、开口方向、对称轴、给定区间都确定
例1.已知函数 ，当 时，求函数f(x)的最大值与最小值。
解析：当 时， ，所以 时， 时，
点评：先配方，结合函数图象和单调性，二次函数最值容易求出；由于二次函数最值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到，也可以将区间端点和顶点处的函数值计算出来，通过比较大小，计算出最值。
二、对称轴位置、给定区间确定，开口方向不确定
例2.已知二次函数                    在          上有最大值4，求
实数  的值。
解：因为有固定的对称轴          
（1）若     时，则           即               ∴         
（2）若     时，则           即               ∴         
综上可知：     
点评：当二次函数对称轴位置、给定区间固定，开口方向不确定时，只要讨论开口方向向上和向下两种情况。
三、开口方向、给定区间确定，对称轴位置不确定
例3 已知函数 ，求f(x)在x∈[－1，1]上的最大值和最小值．
解析：函数 （注意：不能由此得到最大值为 ，因为这里定义域不是一切实数）函数图象的对称轴为：x＝ ，对对称轴的位置分四种情况讨论：
① <－1② >1③－1≤ ≤0 ④0< ≤1如图所示：
                                              
                            
 
        
 
 
 
 
 
 
 
 
 
由图可得：当 <－1，即t<－2时， ,
当 >1，即t>2时， ．
当－1≤ ≤0，即－2≤t≤0时， ，  
当0< ≤1，即0<t≤2时,?

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