矩阵、二次型、线性空间是高等代数的三个主要研究对象，这三个研究对象互不相同但又密切联系。比如线性方程组、二次型以及线性空间、线性变换等理论都可以归结为有关矩阵某些性质方面的研究。有些看似不同的性质归结为矩阵以后却是相同的。高等代数中比较常见的矩阵除了对称矩阵，正定矩阵，正交矩阵等矩阵外，还有一种比较特殊的矩阵就是——实反对称矩阵，它在许多重要学科的研究中起着重要的作用，因此有必要对其性质进行阐述。
关键词:对称矩阵  反对称矩阵  秩  正定矩阵
1.1　基本性质 
定义 设是一个阶方阵，如果，则称为反对称矩阵．
  性质1.1.1　设为阶实反对称矩阵，若为奇数，则为实对称矩阵，若为偶数，则为实反对称矩阵.
证明　当为奇数时，

所以为实对称矩阵.当为偶数时，
所以为实反对称矩阵.得证                            　　
1.2　关于秩
引理1.2.1　设为阶矩阵()，那么
秩=                                         
性质1.2.1 设为阶反对称矩阵，且秩，则至少有一个阶主子式不为0．
证明　若，则结论成立．
若，则的所有阶子式全为0，当然的所有阶主子式均为0，若的所有阶主子式全为0，则由性质知，秩，矛盾． 从而至少有一个阶主子式不为0．   　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　     得证
1.3　关于正定性
性质1.3.1　设为阶奇异实反对称矩阵，则
当时，
当时，.
证明　设为阶奇异实反对称矩阵
当时，对于任意的非零实列向量，有

因为为奇异矩阵，所以，即．
当时，对于任意的非零实列向量，有

而为奇异矩阵， 所以，即矩阵. 　　　　　得证                                
    参考文献
[1] 北京大学数学系几何与代数教研室.高等代数(第三版).北京：高等教育出版社,2003.
[2] 姚慕生.高等代数学.：复旦大学出版社，2005.
[3] 姚慕生.高等代数——大学数学学习方法指导丛书.上海：复旦大学出版社，2002.
[4] 张海山.反对称矩阵的若干性质.J.甘肃教育学院学报(自然科学版)，2003，17：14-17.
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