哥德巴赫猜想证明

杨阳阳西安航空高等专科学校

哥德巴赫猜想

命题：任何一个不小于9的奇数都可以写成三个素数之和。

推论：任何一个不小于6的奇数都可以写成两个素数之和。

推论是欧拉提出的，命题是哥德巴赫提出的。

下面展开对哥德巴赫猜想证明

对于任何一个不小于9的奇数都可以写成如下形式

2N+1=3+2（N-1），其中2（N-1）≥4

若欧拉的命题成立，即偶数2（N-1）可以写成两个素数之和，则奇数2N+1可以写成三个素数之和，从而对于不小于9的奇数哥德巴赫猜想成立。

由上面的论证可见只要欧拉命题得证便可以推出哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想成立。

对于这一点很多人早已论证过！

下面展开对欧拉命题的证明

任何一个不小于6的偶数2N+2 （N≥2）都可以写成下列数串的形式

（2N+2）=3+（2N-1）=4+（2N-2）=……=（N+1）+（N+1）

设数串中素数与素数和的组数为A，素数与合数和的组数为B，合数与合数的组数为C。

从而A+B+C=N-1 （N≥2）①

在上面的数串中共有N-1组，每一组中的数要么是素数，要么是合数，从而得到上面的式子。

下面对每一组中的素数和合数进行讨论。

Ⅰ、由素数加素数为偶数，则两个素数全为奇素数。

Ⅱ、由素数加合数为偶数，

当素数为奇素数时，合数为奇合数，设数串中这样的组数为b2

当素数为偶数时，合数为偶合数，设数串中这样的组数为b1

Ⅲ、由合数加合数为偶数，

当一个合数为偶数时，另一个合数为偶合数，设设数串中这样的组数为 c1

当一个合数为奇数时，另一个合数为奇合数，设设数串中这样的组数为 c2

从而由Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、可得 2A+B=Q Q为参与数串的素数

B+2C=K K为参与数串的合数

而且 B= b1+b2 ② C=c1+c2 ③

在2N+2 （N≥2）的数串中b1=0

将①式变形为 A=N-1-（B+C），并将②③式代入可得

A=N-1-（b2+c1+c2）④

又因为b2+2c2的和与数串中奇合数的数目相等；c1与参与数串的偶合数数目的1/2相等。

设b2+c2=F，且F为参与数串的奇合数的数目（在这里用到了放缩思想）；

设2c1=G, G为参与数串的偶合数的数目。

从而 ④式可进一步转化为A=N-1-（G/2+F）⑤

1、在N≥2的情况下，若2N+2的数串中存在两个相同的偶数，则参与数串的偶数比小于2N+2的偶数数目少1个

于是2N+2的数串中存在N-1个偶数。

例如12=3+9=4+8=5+7=6+6

若2N+2的数串中存在两个相同的偶数，则2N的数串中存在两个相同的奇数

于是N-1偶数。

例如10=3+7=4+6=5+5

从而G/2=（N-1）/2=（N+1）/2-1

若令N=2K+1 （K≥1，且K为自然数）

进而⑤式可以转化为 A=K-F

2、在N≥2的情况下，若2N+2的数串中存在两个相同的奇数，则参与数串的偶数比小于2N+2的偶数数目少2个

于是2N+2的数串中存在N个偶数。

若2N+2的数串中存在两个相同的偶数，则2N的数串中存在两个相同的奇数

于是N偶数。

从而G/2=N/2-1

若令N=2K（K≥1，且K为自然数）

进而⑤式可以转化为 A=K-F

4K+2 （K≥1，且K为自然数）

总上将1、2、两种情况统一，A=K-F，

4K+4 （K≥1，且K为自然数）

对于二元函数A=K-F，K≥1，且K为自然数，F为参与数串且小于2N+2的奇合数的数目。A为2N+2分解为多组两个数之和的形式中素数加素数的组数。

函数A=K-F随着偶数逐渐增大时，K按自然数逐渐增大，F随着偶数逐渐增大时，按自然数不与K同步增大，而是间隔性增大的，从而函数A=K-F为单调递增函数。

K=1时 2N+2= F=0 A=1

10 F=0 A=2

K=2时 2N+2=

12 F=1 A=1

K=3时 2N+2= F=1 A=2

18 F=3 A=2（对于此问题后面有说明）

K=4时 2N+2=

20 F=2 A=2

22 F=2 A=3

K=5时 2N+2=

24 F=3 A=2

现在对A=K-F为单调函数加以证明

要证明A=K-F为单调递增函数只需要验证连续四个奇数为合数的情况即可。

假设当偶数无限大时，4K+1 4K+2 4K+3 4K+4 4（K+1）+1 4（K+1）+2

4（K+1）+3 4（K+1）+4 中的4K+1 4K+3 4（K+1）+1 4（K+1）+3 全为奇合数。

由于4K+1与4K+2相差1；4K+3与4K+4相差14（K+1）+1与4（K+1）+2相差1；4（K+1）+3与4（K+1）+4相差1。

若偶数为4K+4时，奇数4K+3不参与数串，因而K增大1，F也增大1，A的增值为0；

若偶数为4（K+1）+2时，奇数4（K+1）+1不参与数串，因而K增大1，F也增大1，A的增值为0

但自然数中的奇数中，总是有奇素数存在，而且有无限多个。这个问题在《几何原本》已给出了证明。

又K=1时，F=0 A=1

从而函数A=K-F在K，F为自然数且K≥1，F≥1的范围内单调递增。

在证明过程中b2+c2=F,F本不是参与数串的奇合数数目，把它看作奇合数的数目无形中将F放大，使A的结果便小。

若数串中存在奇合数相加的组数为T，则b2+c2=F-T，且T=c2

从而数串中素数加素数的组数应为A+T

例如18=3+15=5+13=7+11=9+9 T=1

按公式 K=4 F=3 则A=1

而正确的结果应为A+T=2

总上述证明，欧拉命题得证，从而哥德巴赫猜想得证

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