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用准定义巧解题

作者：　时间：2012-02-07 阅读：( )

用准定义巧解题
                 苏州市相城区陆慕高级中学  杜守园    215131
                   
数学中很多定理，性质，法则都源于定义，从这点来看，把握了定义便把握了问题的本质。尤其是对各种曲线的定义的灵活而准确的应用将使问题的解决变得轻松快捷。
例1.已知 是双曲线 的左支上一点， 分别为左右焦点，且焦距为 ，则 的内切圆的圆心横坐标为           。

x
y
P
S
T
K
O
 
C
解析：如图过圆心 作直线 分别垂直于三角形的三边交三边于 ，则有 从而 所以点 在双曲线上，又点 在 轴上，应此该点 为双曲线的左顶点 ，所以圆心的横坐标为

评注：抓住双曲线上的点的本质特征：到两定点距离之差的绝对值是定值的点的轨迹。把求点坐标问题转化为简单的定义的应用。
下面再举几个例子说明定义的重要性。
例2. 已知椭圆 =1(a＞b＞0),点P为其上一点，F1、F2为椭圆的焦点，∠F1PF2的外角平分线为l，点F2关于l的对称点为Q，F2Q交l于点R ，当P点在椭圆上运动时，求R形成的轨迹方程；
分析：此题如果利用相关点法用点P的坐标表示点R的坐标还是比较麻烦的，但当我们时时想着椭圆的定义，就会发现 而由对称性知
从而 又F2Q交l于点R ， R 是F2 Q的中点，而 是 的中点，连接 有 ，再根据圆的定义知：点R在以 为半径的圆上方程是
评注：抓住本质，利用定义数形结合，使得对轨迹问题的求解变得轻松便捷。
例3.已知椭圆 的焦点 ， ，在直线 上找一点 ，求以 为焦点，通过点 且长轴最短的椭圆方程。

分析：此题中的已知椭圆的作用仅

M
N

仅是提供两焦点 ， ，点 在所求的椭圆上应该适合椭圆的定义 ，要长轴最短则
的值最小。此题转化为在直线 上找一点 使得 的值最小,如图，作 关于 的对称点 ，连接 交 与点 ，则 ，从而 为 的最小值， 关于 的对称点 的坐标为（6，4）所以直线 的方程是 与 的交点 为所求的点，此时  所求椭圆方程为
评注：椭圆是到两定点距离之和等于定长的点的轨迹。所以求距离之和最小问题就可以转化为对称点问题。
例4.（2008江苏高考）13.若 ，则 的最大值     ▲    

A
B
O
C
D
x
y
分析:由已知 记起苏教版《数学选修2-1》中有“到两定点距离之比等于常数2的点的轨迹是圆”，首先求出点C的轨迹，利用数形结合， 问题的解决将会更顺利些。

解析：因为 ，所以可以 所在直线为 轴， 的中点 为原点
建立如图直角坐标系，则 设点 ，
由 得 ，即
点 在如图所示的圆上，当 的高 等于圆的半径 时，
得 面积的最大值为
评注：本题一般都会想到要考查的是三角形的面积公式，余弦定理以及函数思想，因此总是从余弦定理入手求角再求面积，也可利用三角函数的有界性来解，但由于用到的知识点较多，往往运算较繁琐。而数形结合就使得运算得到了简化。
因此，熟练掌握每一种曲线的定义、标准方程、图形与几何性质，注意挖掘知识的内在联系及其规律，寻找最简单可行的科学解题途径，对于我们解决一系列解析几何问题，显得极为重要。
 
 
 
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