再反思：一次函数与一元一次不等式

作者：教育界　时间：2011-11-18 阅读：( )

在省骨干教师培训期间，培训部组织了两次听课评课活动，其中一次就是由南昌大学附中袁老师上的这节课，感受颇深。回校后，我也上了这节课，比较学生的表现，有了一些感悟。

这节课，是在一次函数与一元一次方程的基础上展开的，学生理解了一次函数与一元一次方程的关系，并初步有了用函数的观点考察教学问题、解决教学问题的思想，但这种思想还是比较肤浅。

这节课教学目标是通过具体问题的考察，让学生理解一次函数与一元一次不等式的关系，会用图象求出一元一次不等式的解集，并初步形成用全面的观点处理局部问题的思想。在这节课的重点是一次函数与一元一次不等式关系的理解，难点是利用函数图象确定一元一次不等式的解集。

构建这节课时，我首先通过下面两个问题：（1）解不等式2x-4＞0。（2）当x为何值时，函数y=2x-4的值大于零。意在从数和形的角度，让学生理解一元一次不等式与一次函数的关系，也即解不等式的问题，可以能化为函数问题来解决。在此基础上，让学生思考：如何利用图象写出不等式的解集？也即当函数值y＞0时，如何得到x的范围？学生通过观赛图象得出y＞0时，对应的图象是一次函数y=2x-4的图象在x轴上方的部分，从而写出不等式2x-4＞0的解集，这就从新的角度考察了一元一次不等式与一次函数之间的关系。

为了突出一次函数与一元一次不等式的关系，突出本节课的数学本质，我设计了下面的两个问题。

问题一：如图1，是函数y=3x+6的图象，根据图象你能求出哪些不等式的解集？y y

6 5

-2 0 x 0 2 x

图1 图2

问题二：如图2，利用y=- x+5的图象，求出：

（1）方程- x+5＝0的解集。

（2）不等式- x+5＞0的解集。

（3）不等式- x+5≤0的解集。

（4）不等式- x+5＞5的解集。

在上面分析、思考、练习的基础上，我适时地引导学生进行总结，推广到一般的一次函数与一元一次不等式之间的关系：

从数的角度看，不等式ab+b＞(a≠0)的解集 x为何值时，y=ax+b的值大于0，从形的角度看。

不等式ax+b＞0（a≠0）的解集直线y＝ax+b在x轴上方部分所对应的x的取值范围。

上面部分的设计和实施，是我这节课比较成功的地方，体现了这节课的教学目标，抓住了本节课的重点——理解一次函数与一元一次不等式的关系，尤其是对本节课的难点：如何根据一次函数的图象确定不等式的解集进行了突破，学完这节课后，学生基本上能够根据给出的图象找出不等式的解集。

后面在分析例题（用画函数图象的方法解不等式5x+4＜2x+10）时，学生的表现还是不错的，多数同学把不等式变形为3x-6＞0,然后画出承数y=3x-6的图象，再根据图象写出解集，少数同学建立了两个函数关系：y₁=5x+4,y₂=2x+10，然后根据同一坐标系下y₁ 、y₂的的图象，写出x的范围。

对于本节课知识的学习，学生在思维上是有一定的障碍的，如：

1.学生很难想到函数会和不等式有关系。

2.既然一元一次不等式已经会解，而且有时候比用图象来解要容易，为什么还要研究用图象法来解一元一次不等式呢

3.用图象法来解不等式，就要画图象，而画图象是有误差的，从而得出的不等式的解集不够准确。

对于问题1-2，正是我们这节课所要解决的重点问题，我们在授课时，要加强对学生进行引导，要通过一些具体的实例让学生学会用函数的观点去看待问题，分析问题，学会建立函数模型，解决问题。从而帮助学生实现从不等式到函数这样一个思维的跳跃，实现观点的升华。事实上，用函数观点去考察一元一次方程或一元一次不等式，是从更高的角度，从整体的角度或者是全面的角度去思考，当赋予某个函数某个值或者部分值时，求出对应的自变量的值，就是方程或不等式的解，而这些解包含自变量的取值范围之中。

至于第3个问题，一方面，需要我们老师要指导学生规范、认真地画图象，并指出画图象时注意的地方，如长度单位的选取等，另一方面，可以借助计算机帮助我们解决这样的问题，只要输入一个函数解析式，就可以呈现一个准确的函数图象。

为此，本节课，我们一定要抓住数学的本质进行教学，要通过一些具体的情景，例子来实现本节课的教学目标，让学生理解一次函数和一元一次方程的关系，进一步形成函数观点。

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