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不等式问题解疑研究

作者：　时间：2012-02-07 阅读：( )

 数学老师都有共识，在涉及解分类讨论不等式问题时，最终结果是取其交集、并集，还是既不取交集也不取并集，常常是一个普遍存在的疑难问题。笔者从事数学教学多年，碰到这类问题，实在不少，为了解决这个问题，本人曾把它放在自己的议事日程上来研究，现就其研究结果，结合有关例题进行分类归纳解析如下。
一．       对未知数讨论，求未知数的范围
例1.(06山东高考)设f(x)=  ，则不等式f(x)>2的解集为（     ）
   A．（1，2） (3,4)      B.(  
C. （1，2） (   D. (3,4) 
解：当x<2时，f(x)>2即 e >2, e >1,x>1结合x<2,得1<x<2
    当x 时，f(x)>2即log >2,
               结合x 得
    综上可得，原不等式的解集为
分析:每一种情况下x的取值都能使原不等式成立，因此原不等式的解集就应该是每一种情况下解集的并集。
例2.(05年全国高考)设函数f(x)= ,求使f(x) 的x的取值范围。
解. f(x) 即 ,所以|x+1|-|x-1|
   当  ，得  ，不成立
   当  ，得
                   结合
   当x>1时，化为 得 恒成立
综上可得，原不等式的解集为
二、对未知数讨论，求参数范围
例3.若不等式|x-4|-|x-3|<a在R上恒成立，求a的取值范围。
解：当 时，化为-x+4+x-3<a,得a>1
    当 时，化为-x+4-x+3<a得a>-2x+7
                  结合 ，得  所以a 1
    当x>4时，化为x-4-x+3<a得a>-1
    综上可得，
分析，因为每一种情况下a的取值都在相应讨论的x的范围内成立，所以要使原不等式恒成立，a的取值必须是每一种情况下a的取值的公共部分。因此各种情况下a的集合的交集即为所求。
此题另解为：|x-4|-|x-3| ,即|x-4|-|x-3|的最大值是1，所以 a>1时，原不等式恒成立。
三.、对参数讨论，求参数的取值范围
例4．(荆州模拟)已知，
a>0,  ,
        则实数a的取值范围是（   ）
        A．    B.   
C.        D.
解：  ，
当x  ,所以只要 即可
若0<a<1,则只要a
若a>1,则只要
综上可得，a
分析，因为每一种情况下a的取值都满足题设条件，所以a的集合就是每一种情况下a的解集的并集。
例5.求使不等式 对任意实数x恒成立的a的取值范围。
解：原不等式化为
当a=-2时，不等式为1  ，恒成立
当a=2时，不等式为4x+1  ，不恒成立
当a 时，要使原不等式恒成立，则
综上可得，a
四.对参数讨论，求未知数的范围
例6.解关于x的不等式|x-1|+a-1>0
解：原不等式化为|x-1|>1-a
        当1-a<0,即a>1时，不等式恒成立,
        当1-a=0,即a=0时，不等式化为|x-1|>0 ,
        当1-a>0,即a<1时，得x<a或x>2-a
        综上可得，a>1时，不等式的解集为R
                  a=1?

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