高中数学综合题的解题研究

西北师范大学06级教育硕士肖学胜

摘要 在数学考试中不仅综合题占重要地位，更重要的是由于综合题对巩固和加深数学基础知识与基本技能，培养综合运用知识去分析问题和解决问题,提高思维素质,从而提高教学能力都具有重要的意义。本文着重研究面对综合题怎样进行分析。

关键词 数学解题思维过程联想

一. 解数学综合题的思维过程的五个步骤

1.审题。

从题目中获得尽可能的信息，已知条件是什么？未知数是什么？隐含的条件上什么？条件是否充分？有没有多余条件或矛盾条件？……能否迅速理解题意，能否从众多的信息中尽快抓住解决问题的突破口，这也是一种能力，主要是理解能力，观察能力，也反映一个人思维的深刻程度。

2.选择方案。

由于题目不同，解题方案也大不相同，方案分为正面方向和反面方向两类，正方向解题又可以有总体考虑和逐步考虑两种途径，究竟采取哪种途径？哪个方案是最优的。开始选择时并不要求十全十美，也不要求能确定全部过程，但是大致方向应当清楚。在这个选择的过程中主要靠集中思想，如已经学过的解题模式，已经做过的习题，某些中途点所给的启示，都是以一般的规律联想本问题的解题途径。旧知识和一般规律掌握越多，方向就越明确，选择方案就会越迅速、准确。

3.调整和确定新方案。

当碰到新问题，原方案不适应时，应调整方案，若原方案行不通或太繁时，应更换方案。这种调整过程往往不是一次完成的，而是不断获取新的信息，不断调整方案最后才确定的。从思维来说这更多地靠发散思维（包括求异思维、逆向思维……），靠思维的灵活性和创造性。一般地说，一般规律没有解决的原因往往是有它的个性，它有与一般规律不同的情况，必需根据不同点考虑新的解决途径，所以必需“求异”、“创新”。

4.实施方案。

（1）.按具体方案进行演算和推理，要有较强的运算能力和逻辑推理能力。

（2）.及时检查其正确性，验算方法有估值法、逆运算、特殊值代入、多种解法对照，甚至有时靠直觉。有人总是按原方法重新算一遍作为检查验算，但这种方法经常会受到思维定势的影响而再重复前一次的错误，建议尽量不要用这种方法。在这个步骤中思维方面更多地要求严密性和批判性。

5.反思。

从解题的成败中总结经验，吸取教训，并进一步引申，从多种角度研究问题，使得对问题的认识更深刻，得到一些新的知识，认知一些新的规律，从而提高自己的解题能力。这个步骤中，要求学生具有较好的概括能力，并有更高层次的集中思维，从目前的学生来看，这是较普遍的薄弱环节。

例1：求证 +2 +3 +……+(n-1) +n =n﹒ (n∈N)

从题目左式看是组合数求和，按教科书上所学过的组合数求和都是利用二项式（a+b）ⁿ中，a、b取某个特殊值，展开后得到求证式。采用这一规律证明时没有成功，当按常规方法证明受阻时，应当进行调整，联想到熟悉的组合数求和：

+ + + +……+ + = 和 = 、 = 、……、 = 、……的关系，联想到教科书中的等差数列的求和公式推导方法——倒序求和，则可得到下列证法：

设 A= +2 +3 +……+(n-1) +n

A=n +(n-1) +(n-2) +……+

两式相加得：2A=n +n +n +n +……+ n + n

= n( + + + +……+ + )= n﹒

证题后可以总结出利用倒序求和应满足两个条件：（1）若不考虑系数时，第n项与n-1项或相等，或和为常数。（2）它们的系数成等差数列。这样就把它推广到更大的范围。

二.“联想”在调整方案中的作用。

解题的五个思维过程中最难的是第三步，就是按常规的方法行不通时如何调整和修改方案呢。这个过程有很多的思维活动，甚至是灵感（领悟思维），认真研究起来，这些思维活动中最活跃，其关键作用的是“联想”。进一步想问题时，经常用以下几种途径：

1.从已知条件联想：按已知条件可以达到哪些中途点，这些中途点对解题有没有帮助？

2.从结论联想：得到结论一般需要哪些条件？题目中缺哪些条件?怎样得到这些条件？

3从问题的形式联想：问题的问法一般采取什么方法？或问题所给的形式与哪些知识相仿，哪些相近的知识用得上？

4.从解题的方法上联想：一些熟悉的解题方法在这问题上能否用得上？正面解法不行时反面解法行不行？把问题转化成等价问题行不行？

一般地说，对基础知识，基本技能掌握得越好，“联想”也越容易，对思维训练越多，“联想”也越通畅，所以，抓好双基不可放松，但是训练也是必要的。下面以例题来研究这个思维过程。

例2 设n为给定的正整数，记A_n= ,(1)当n为奇数时，求A_N中的最大数与最小数；（2）当n奇数时，求A_n中的所有元素之和；（3）当n为偶数时，求A_n中的所有元素之和。

分析：初看题目好像无从下手，但是认真研究集合A_N,x是3的倍数，范围是，容易想到3=2+1,n是奇数时aⁿ+bⁿ有a+b的因式，n是偶数时aⁿ-bⁿ有a+b的因式，∴n是奇数时2ⁿ+1是3的倍数， 2ⁿ⁺¹-1也是3的倍数，这样可知A_N中最小数是2ⁿ-1，最大数是2ⁿ⁺¹-1 。

在这个分析的基础上，可知（2）小题：所有元素构成2ⁿ+1为首项，2ⁿ⁺¹-1为末项，公差为3的等差数列，求S_n,这样就成为基本题，答案是2^2n-1+2^n-1。

第（3）小题中注意n为偶数时，2ⁿ+2,2ⁿ⁺¹-2也都是3的倍数，因此可得到答案，2^2n-1-2^n-1。

从以上可以知道，联想可以启迪思维的灵感，可以延长思维链，可以开辟新的思维途径，做过的题的结论有不少可以作为解其他题的联想起点，这样总结规律越多，基础掌握的好，联想点就越可靠，经过一定的训练和总结，就可以使我们解题更灵活，更简捷，当然这里没有排除其他思维形式的作用，只是说“联想”在数学解题中起着重要的作用。

参考文献

1.汪江松主编.高中数学解题方法与技巧。湖北教育出版社.2008.3

2.梁开华主编.新课程高中数学解题方法一点通.上海科学教育出版社.2009.1

3康士航主编.新课标高中数学解题思维方法.2009.2