手机站

当前位置: > 新闻资讯 > 最新录用 >

处理隐性函数问题的几种求解意识

作者: 时间:2012-02-07 阅读:( )

处理隐性函数问题的几种求解意识
四川省成都市郫县华西中学 任凌珂
隐性函数问题是指没有以显性形式给出函数解析式,只给出函数记号及其满足相关条件的函数问题,由于它在培养学生思维能力,进行思维方法的渗透等方面的作用,使得它在高考中备受青睐,由于它的隐性表示,使得有些同学望而却步,其实,只要掌握了一定的求解策略,这类问题并不难。
一、特殊化意识:
1.       认真观察与分析抽象出数问题中的已知与抽象未知的关系,巧妙的对一般变量赋予特殊值,或把出数赋予特殊函数等,从而达到解决问题的目的。
例1:若f(x)是R上的减函数且f(x)的图象过点A(0、3)和点B(3,-1),则不等式 的解集是(      )
A (-∞,3)       B(-∞,2)       C(0,3)       D(-1,2)
解析:本题只指明函数f(x)是R上过点A(0,3)和点B(3,-1)的减函数,而没有指明函数是何曲线,我们不妨把f(x)看成是过A,B两点的直线,由两点式得:f(x)= +3
f(x+1)=-
解得:     故选(D)
例2:求证:无论k为何实数值,直线L:(2+k)x+(1-2k)y-(3+4k)=0与定点P(5,3)的距离d满足:d
分析:若按一般方法,则有;
d=
从而d
即   (d
即400-4(d (d
于是    d     
      
 
 
 
 
显然过程较繁,若取k=0,k=1得:
故知直线L过定点Q(2,-1)做PM
则d=
这一证法,显然较“常规方法”简洁
二:换元意识:
换元就是从原题的式子结构出发,实施整体或局代换,化难为易,使问题得到解决的方法,实际上从字母表示数到用字母表示未定元,再到字母表示代数式,这些都是换元法的具体体现,换元法是中学生必须掌握的数学方法的解题技巧之一。
例3:解方程:x+
 解:将方程变形为:
设 =y,则原方程化为y- =2
即 -2y-3=0      解之得y =3,y =-1
由 =3的 -3x+2=0,故x =1, x =2
由 =-1得 +x+2=0,由于 =1-4=-3<0
故此方程无解
经检验,x =1,x =2是原方程的解
以上解题过程用了倒数换元法,此外还有整体换元等
例4若函数f(x+1)的定义域 ,求出数f ( +2)的定义域
解:设t=x+1,易见f(t)的定义域是
令 +2=t ,得x (- ,- ) ( ,+ )
S即为所求
 
 
 
 
 
三:递推意识:
有些隐性表示函数给定的等式可看作递推式,利用其递推关系,寻找新的等式,以用于解题
例5:已知f(x)是定义在正整数集上的函数,对任意的正整数的x,都有
f(x)=f(x-1)+ f(x+1) 且f(1)=2002,求f(2002)
解析:利用f(x)=f(x-1)+ f(x+1)的递推关系可知:
f(x-1)= f(x)+ f(x+2)
f(x+2)= f(x+1)+ f(x+3)    两等式成立
得f(x+3)=- f(x),所以
f(x+6)=- f(x+3)=- = f(x)
所以f(x)是周期为6的周期出数
即f(2002)= f(333×6+4)= f(4)=-f(1)=-2002
四:化归意识:
有些隐性函数与函数的单调性,奇偶性,对称性,等性质联系密切,求解这类问题应充分理解题意,综合运用函数知识和函数思想,将其转化为熟悉的问题中来
例6:已知定义在R上的函数f(x)满足
①     对于任意x,y R,都有f(x+y)= f(x)+ f(y)
②     当x>0时,f(x) ﹤0,且f(1)=-2,求f(x)在 上的最大值和最小值。
解:任取-3 x ﹤x 3,由①得f(x )= f(x - x )+f(x )
    f(x )- f(x )= f(x - x )                 
     - >0,由 得 :f(x - x )<0
 f(x )< f(x )
f(x)在 上的最大值为:
f(-3)= -f(3)=- f(1)- f(2)=-3 f(1)=6
最小值为f(3)=-6
五:类比意识:
联想合适的特殊函数,为将其性质或特征类比于抽象再予以证明与应用
例7:设函数f(x)的定义域为R,对于任意实数m,n,总有f(m+n)=f(m).f(n)
 且x﹥0时,0﹤f(x) ﹤1
①     求f(0)的值
②     判断f(x)在R上的单调性,并证明你的结论
③     设A= . >f(1) ,B=
a、b、c R,a 、b不同时为零,若A B= ,确定实数a、b、c三者之间的关系:
分析:根据所给条件,易联想到符合题设的指数函数y=a (0﹤a﹤1)
 从而明确问题①②的解题方向
解:①由题设条件,令m=1,n=0,得f(1)= f(1), f(0)
由已知f(1)﹥0,故f(0)=1
③     注意到x﹤0 0﹤f(-x)﹤1,故f(0)= f(x). f(-x)
∴f(x)= ﹥1
设x ﹤x ,则0﹤f( )= f(x ). f(- x )﹤1
∴f(x )﹤f(x )
故f(x)是R上单调递减出数
③:由A= 知
   从而 它表示单位圆的内部
   由 知
   而 ,故直线和圆的内部没有公共点
   即直线和圆相切或相离,从而有
 
?

上一篇:武警指挥院校执勤英语教学研究

下一篇:浅谈如何上好非日语专业学生的第一堂日语课

相关文章
精品推荐
精品推荐

评论列表