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处理隐性函数问题的几种求解意识

作者：　时间：2012-02-07 阅读：( )

处理隐性函数问题的几种求解意识
四川省成都市郫县华西中学 任凌珂
隐性函数问题是指没有以显性形式给出函数解析式，只给出函数记号及其满足相关条件的函数问题，由于它在培养学生思维能力，进行思维方法的渗透等方面的作用，使得它在高考中备受青睐，由于它的隐性表示，使得有些同学望而却步，其实，只要掌握了一定的求解策略，这类问题并不难。
一、特殊化意识：
1.       认真观察与分析抽象出数问题中的已知与抽象未知的关系，巧妙的对一般变量赋予特殊值，或把出数赋予特殊函数等，从而达到解决问题的目的。
例１：若f（x）是Ｒ上的减函数且f（x）的图象过点Ａ（０、３）和点Ｂ（３，－１），则不等式 的解集是（      ）
A (-∞,3)       B(-∞,2)       C(0,3)       D(-1,2)
解析：本题只指明函数f(x)是R上过点A（0，3）和点B（3，-1）的减函数，而没有指明函数是何曲线，我们不妨把f(x)看成是过A，B两点的直线，由两点式得：f(x)= +3
f(x+1)=-
解得：     故选（D）
例2：求证：无论k为何实数值，直线L：（2+k）x+(1-2k)y-(3+4k)=0与定点P（5，3）的距离d满足:d
分析:若按一般方法,则有;
d=
从而d
即   (d
即400-4(d (d
于是    d     
      
 
 
 
 
显然过程较繁,若取k=0,k=1得:
故知直线L过定点Q(2,-1)做PM
则d=
这一证法,显然较“常规方法”简洁
二：换元意识：
换元就是从原题的式子结构出发，实施整体或局代换，化难为易，使问题得到解决的方法，实际上从字母表示数到用字母表示未定元，再到字母表示代数式，这些都是换元法的具体体现，换元法是中学生必须掌握的数学方法的解题技巧之一。
例3：解方程：x+
 解：将方程变形为：
设 =y,则原方程化为y- =2
即 -2y-3=0      解之得y =3,y =-1
由 =3的 -3x+2=0,故x =1, x =2
由 =-1得 +x+2=0，由于 =1-4=-3＜0
故此方程无解
经检验，x =1，x =2是原方程的解
以上解题过程用了倒数换元法，此外还有整体换元等
例4若函数f(x+1)的定义域 ，求出数f ( +2)的定义域
解：设t=x+1,易见f(t)的定义域是
令 +2=t ,得x （- ，- ） ( ，+ )
S即为所求
 
 
 
 
 
三：递推意识：
有些隐性表示函数给定的等式可看作递推式，利用其递推关系，寻找新的等式，以用于解题
例5：已知f(x)是定义在正整数集上的函数，对任意的正整数的x，都有
f(x)=f（x-1）+ f（x+1） 且f(1)=2002,求f（2002）
解析：利用f(x)=f（x-1）+ f（x+1）的递推关系可知：
f（x-1）= f(x)+ f（x+2）
f（x+2）= f（x+1）+ f（x+3）    两等式成立
得f（x+3）=- f(x)，所以
f（x+6）=- f（x+3）=- = f(x)
所以f(x)是周期为6的周期出数
即f（2002）= f（333×6+4）= f（4）=-f（1）=-2002
四：化归意识：
有些隐性函数与函数的单调性，奇偶性，对称性，等性质联系密切，求解这类问题应充分理解题意，综合运用函数知识和函数思想，将其转化为熟悉的问题中来
例6：已知定义在R上的函数f(x)满足
①     对于任意x,y R，都有f（x+y）= f(x)+ f(y)
②     当x>0时，f(x) ﹤0，且f（1）=-2，求f(x)在 上的最大值和最小值。
解：任取-3 x ﹤x 3，由①得f(x )= f(x - x )+f（x ）
    f(x )- f（x ）= f(x - x )                 
     - >0,由 得 ：f(x - x )<0
 f(x )< f（x ）
f(x)在 上的最大值为：
f(-3)= -f(3)=- f（1）- f（2）=-3 f（1）=6
最小值为f(3)=-6
五：类比意识：
联想合适的特殊函数，为将其性质或特征类比于抽象再予以证明与应用
例7：设函数f(x)的定义域为Ｒ，对于任意实数m,n，总有f(m+n)＝f(m).f(n)
 且x﹥0时，０﹤f(x) ﹤１
①     求f(０)的值
②     判断f(x)在Ｒ上的单调性，并证明你的结论
③     设Ａ＝ . >f（1） ,B=
a、b、c R,a 、b不同时为零,若A B= ,确定实数a、b、c三者之间的关系:
分析:根据所给条件,易联想到符合题设的指数函数y=a (0﹤a﹤1)
 从而明确问题①②的解题方向
解:①由题设条件,令m=1,n=0,得f（1）= f（1）, f（0）
由已知f（1）﹥0,故f（0）=1
③     注意到x﹤0 0﹤f（-x）﹤1,故f（0）= f（x）. f（-x）
∴f（x）= ﹥1
设x ﹤x ,则0﹤f（ ）= f（x ）. f（- x ）﹤1
∴f（x ）﹤f（x ）
故f（x）是R上单调递减出数
③:由A= 知
   从而 它表示单位圆的内部
   由 知
   而 ,故直线和圆的内部没有公共点
   即直线和圆相切或相离,从而有
 
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