线性代数中矩阵相似标准型的教学研究

作者：　时间：2012-02-07 阅读：( )

摘要：基于线性代数中的Jordan标准型，采用与标准线性代数类似的不变因子和初等因子法，讨论了一般数域上矩阵相似问题，以此为例阐述数学教学过程中的思维能力培养问题。

关键词：线性代数，相似矩阵，矩阵，不变因子，初等因子，数学思维能力培养

中图分类号：0151．2 文献标识码：A

1. 引言

教育的核心问题是对学生进行能力培养，如何把能力培养问题贯穿到高校设置的各门课程中

是全体教师需要在实践中不断进行探索的问题。对于数学教育来说，这个问题显得更为突出，很多同学觉得某些数学课学完了就结束了，自己的能力没有任何变化。数学课的学习，其本质不在于我们学了多少数学知识，现代数学的知识体系已经极为庞大，对于普通人来说，能学到的只是极少的一部分，数学教育的根本目的在于思维能力的培养，而这种培养过程，则是蕴含在具体知识点的学习过程中。那么如何在数学课程学习过程中对学生的思维能力进行培养，笔者认为需要做到两点：一是熟悉基本内容，这是前提，只有熟悉内容，才有可能真正理解其中的思维方法；二是不囿于基本内容，简单的说，也就是要课本内容理解的基础上，多问自己几个为什么，如为什么需要一些特定的条件，适当的改变条件后结论是否仍然成立，如果成立试证明，不成立能否举出反例？

线性代数作为数学专业本科生最重要的基础课之一，其思想和内容延续到之后许多课程。下面我们以线性代数中Jordan标准型的教学情况为例，试说明如何在教学过程中培养学生的思维能力。

我们知道相似是方阵之间的等价关系，矩阵相似性的判定以及矩阵的相似标准型为何种形式，这是我们所关心的问题，该问题的解决要用到线性代数中的Jordan标准型。标准的教材上一般仅限于讨论复方阵的相似问题，而对其它的数域如我们所熟知的实数域并没有涉及，那么我们对学生提出这样的问题：把复数域换成一般的数域，矩阵相似性的判定问题和相似标准型问题如何解决？我们沿用线性代数教材的思路，导出一般域上方阵的相似标准型，通过与复矩阵的Jordan标准型相比较，有助于学生更准确的理解矩阵的行列式因子，不变因子和初等因子这些概念，并能更深刻的理解矩阵的相似关系。

2．一般域上矩阵的相似标准型

我们先叙述一些基本结论，这些结论在一般的线性代数书上都可以找到^[1]，书上的证明

一般都是在复数域上的证明，但这些证明大多可以直接推到一般的数域上去。

设表示一个数域，我们用表示上的阶方阵全体，表示数域上的一元多项式环，表示上的阶方阵全体，即所谓的矩阵，为了区别，仍称上的矩阵为数字矩阵。关于数字矩阵和矩阵，有以下一些结论：

定理1 设矩阵，则等价于以下形式的矩阵

其中表示的秩，且，。

定理2 设，则与相似，当且仅当与等价。

定理3设，则与相似，当且仅当它们有相同的不变因子。

在复数域上，不变因子都可以分解为一次多项式及其方幂的乘积，称为初等因子。

定理4设，则与相似，当且仅当它们有相同的初等因子。

通过初等因子，可以直接求出复矩阵的Jordan标准型，即下面的定理5：

定理5 设，则相似于下面的矩阵