黄岑

　　山西大学科学技术哲学研究中心 030006

　　关键词：先物结构主义;位置;位置及对象;位置即职位

　　与一般科学哲学的发展进路不同，数学哲学的研究始终都保持着对传统哲学论题的探讨与批判。当代数学哲学论域中关于何为数学基础、数学对象是否存在、如何认识数学真理的本质、数学方法何以可靠等仍是学者们探研的核心。在批判和继承经典理论的基础上，哲学家们在本体论、认识论和方法论上提出了各种特色的新成果。这些成果的一个共性体现为，数学哲学自身理论的建构与发展，都与数学实践密切相关。

　　一、夏皮罗先物结构主义的哲学观念

　　自布尔巴基学派以来，数学结构主义开始活跃于数学哲学的舞台，现已成为当代数学哲学的重要学说。结构主义在对数学本体论问题的研究上，始终关注数学对象的存在问题。该问题在哲学层面上有以下两种解释：一种是遵照柏拉图主义的先物结构主义(ante rem structuralism)，主张数学研究的核心是抽象结构。另一种则是与唯名论切合的在物结构主义(in re structuralism)，主张数学研究的核心是具有抽象结构形式的系统或者模型。

　　先物结构主义的观念源自柏拉图的先物实在论。先物实在论指出至少某些共相先于并且独立于例示它们的任何事项存在，可以认为即使没有红色的事物，红性这种性质依然存在。对于先物结构主义者而言，结构作为研究的对象是合理的，而且独立于能够例证它的任何系统。例如，在一个结构中，结构的存在是合理的，数字作为指称真实对象的真实单称词项对应了结构中的位置，并且结构中的任何位置都无法独立于结构单独存在。

　　相反，在物结构主义基于亚里士多德在物实在论的观点认为，通过把数学对象的命题作为特定类型结构的普遍命题能够消去数学对象与结构的指称。这种观点强调结构对应的普遍命题一旦受到质疑，数学对象的指称也将失去意义。类似于一旦去掉了红色的事物，红性也会随之消失。例如，算术命题不是关于对象的特殊聚合的命题，只是对某种类型的所有系统的概括，这里不能把数学对象或结构当作真正的对象。

　　夏皮罗作为先物结构主义代表人物，一方面继承了弗雷格(G.Frege)、哥德尔(K.GÖdel)、奎因(Quine)的数学柏拉图主义，主张算术研究的“数”作为对象，独立于非数学世界而存在。另一方面为了避免传统柏拉图主义在本体论和认识论上的漏洞，给出了关于数学对象的全新解释。他以数学的本质即结构这一根本宗旨为基础，认为结构的存在应是质朴的、非平凡的，提出了把结构作为一种独特共相的先物结构主义。该理论的核心是，结构作为研究的本体，先于对象和例证它的任何系统独立存在，定义结构中最小的项为“位置”，主要研究结构的位置及位置间的关系。

　　关于结构的独立性，夏皮罗认为像实分析、欧式几何、拓扑学等不同数学理论的研究满足各自的公理系统，比如，实分析研究的是任何完全实闭域的模式，而欧式几何研究的是欧式空间的理论要素，因而不同的结构具备不同的研究对象，对象占据了结构中的位置。由此，夏皮罗指出结构的位置是真实存在的。他指出，如果一个数学对象分支的公理是可满足且范畴的，那么公理就刻画了一个(单一的)结构，并且公理能够真实地描述这个结构，同时对该结构也为真。夏皮罗称这种观点是“位置即对象”(Place-are-objects)。按照该观点，算术研究的对象是一个单一的抽象结构，该无穷对象集合有一个共有的模式，即拥有单独的后继、唯一的初始对象并且满足归纳原理，对于该结构的研究对象——数是自然数结构中真正的对象。例如，数2作为自然数结构中第二个位置，是数3的前导和数1的后继，它不能独立于其他自然数存在，因为一个自然数的本质是它与其他自然数的关系。在先物结构主义中，夏皮罗用系统代指位置及位置间的关系。他指出，系统作为一个对象的集合连同这些对象之间的某些关系能够充分的解释和说明结构的位置。

　　夏皮罗指出一些真实的理论实际上是一些结构的各种不同系统，系统能够例证这些结构的位置。他提出了一种“位置即职位”(Place-are-offices)观点。例如，把数学的每个领域还原或者描述为集合论时，策梅罗提出的数字符号是：Ф、{Ф}、{{Ф}}、{{{Ф}}}...即如果y是x的后继，那么y={x}。而冯·诺依曼序数却定义：Ф、{Ф}、{Ф、{Ф}}、{Ф、{Ф}、{Ф、{Ф}}}...即如果y是x的后继，那么y=x

{x}。对于这两种通过集合表现的数，哪一种才是真正的数学对象?数3究竟是什么?夏皮罗认为，这两种序数是真实的数学对象，{{{Ф}}}和{Ф、{Ф}、{Ф、{Ф}}}是自然数结构中第三个位置的不同对象。这类似于一家公司的一个固定职位不指代一个固定的人，因为这个职位的拥有者可以是任何人，虽然这个职位的拥有者众多，但是这个职位却是单一且固定的。那么夏皮罗指出，虽然解释结构位置的系统是众多的，但是结构的位置却是单一的。策梅罗数和冯·诺依曼序数作为两种对象能够说明自然数结构中的位置，但这两种对象基于不同的背景并不具备同一性。

 

　　夏皮罗通过运用“位置即对象”和“位置即职位”的观点，给出了一种符合数学实践的结构主义解释。他认为在先物结构主义中，结构的位置具体是指对象还是职位，这完全取决于数学实践，因而一个对象可以对应不同结构中的位置。比如，自然数结构能够例示负的全实数结构，或者偶数能够例示自然数结构等等。特别地，对于每一个结构而言，它都能够例示自身，并且位置就是对象。例如，1=1，自然数结构本身例示了自然数结构。所以夏皮罗认为，先物结构主义克服了传统柏拉图主义难题符合数学实践，能够给出数学明晰的解释。

　　二、夏皮罗先物结构主义的理论困境

　　尽管夏皮罗在对数学本质的解释上有所突破，但始终没有摆脱先物结构主义本身的理论困境。

　　首先，夏皮罗没有解释数学对象的本质。因为当先物结构主义从实在论的角度解释结构主义的本质时，将结构作为研究的本体，认为只要数学对象能够充分例示结构中的位置就一定真实存在。例如，数3和策梅罗{{{Ф}}}都例示了自然数结构中的第三个位置，所以在本体论上，先物结构主义者认为数3和策梅罗{{{Ф}}}是真实存在的不同数学对象。但是，即使数3和策梅罗{{{Ф}}}依赖于结构的位置，也无法确定数3和策梅罗{{{Ф}}}的本质。某种意义上，先物结构主义将结构的位置退化为数学对象，没能从根本上解决传统柏拉图主义的认识论难题。

　　其次，夏皮罗没能阐明数学对象的同一性。不同于弗雷格定义的对象等同性，夏皮罗认为把不同结构的位置等同起来可以是直接的或者强制的。例如，自然数结构的位置可以等同于它们在整数、有理数、实数和复数中的相应位置，即自然数1等同于整数1、有理数1、实数1和复数1+0i。但是这种结论忽略了数学实践能够在具体问题中区分出不同数学对象的观点。根据奎因(Quine)的“绝对可辨识”理论，可以肯定数学对象间的关系。但是夏皮罗对于数学对象不可辨识一致性的理解只是将微弱可辨识性作为一种保留数学的独特方式，并不能在认识主体与认识客体之间建立一种正确的可认知性，而这将会严重影响人们对数学真理的信念。

　　再者，夏皮罗没能避免结构主义与数学实践的矛盾。即使先物结构主义者始终将数学实践作为研究的前提条件，但是在例示结构的位置时，往往与数学实践产生矛盾。比如，数3的位置可以由策梅罗{{{Ф}}}和冯·诺依曼{Ф、{Ф}、{Ф、{Ф}}}例示，这里的数3是“职位”。而对于“3是2的唯一后继”，数3是对象。所以根据“位置即职位”和“位置即对象”的观点，自然数位置的本质是相对的。可是数学实践却证实，自然数是有限的冯·诺依曼序数，不是策梅罗数，所以“位置即职位”的观点对于自然数结构便是失效的。此外，先物结构的研究也无法涵盖数学的所有分支，对于集合论和解析函数等，很难给出先物结构主义的解释。

　　三、结 语

　　不同于传统的本体实在论，夏皮罗先物结构主义强调数学是结构的科学。结构作为研究的核心独立于结构中的位置。根据“位置即对象”以及“位置即职位”的解释，数学对象对于特定的结构不具备独立性能够例示不同结构的位置。但是，夏皮罗并没有对数学对象的本质作出明确地、合理地解释，并且先物结构主义理论本身也与数学实践存在矛盾，因此夏皮罗先物结构主义在传统的柏拉图主义上不构成实质性的进步。

　　事实上，对于数学本质的解释并不存在一种固定的哲学说明，数学本质的含义往往受到数学实践的影响。虽然夏皮罗先物结构主义是不完善的，但是先物结构主义仍然为数学哲学本体论的研究提供了新的思路，同时引起了数学哲学家们对于数学实践的重视。只有当数学哲学的理论支持数学实践时，才能获得正确的、合理的解释。

　　参考文献：

　　[1] 郝一江. 数学存在的语言建构-结构主义的研究范式[J]. 重庆理工大学学报2013(3)

　　[2] 斯图尔特·夏皮罗编，数学哲学——对数学的思考[M].郝兆宽等译.上海:复旦大学出版社,2009

　　[3] 康仕慧，张汉静. 数学本质的先物结构主义解释及困境[J]，科学技术哲学研究，2013(5)

　　[4] James Ladyman. Mathematical structuralism and the Identity of Indiscernibles,Analysis 65,3, July 2005,220.