柯西不等式的小结

作者：　时间：2012-02-07 阅读：( )

柯西不等式是数学分析和数学物理方程研究中一个非常重要的不等式，普通高中数学新课程把它列入选修内容，然而对于浙江等省份而言，又是高考报考第一类大学的加试内容。因此对其作一小结很有必要，通过几年的教学与实践，应该说把握这块知识已不是困难的事。

新课程选修４-５中，施行类比的数学思想方法得到的柯西不等式一般形式为：

设是实数，则

。

当且仅当或存在一个实数使时等号成立。回首往视，新课程课本提供的证明方法是构造法，即首先构造函数，进而利用的非负性来完成不等式的证明。笔者认为，柯西不等式的一般形式还可从另一途径得到，这只需在课本从二维向量类比到三维向量得到三维形式的柯西不等式后，再增加从三维向量到维向量的类比，并对两个维向量的夹角余弦公式作一估计就行，这是我们作为教师应该想到的地方。在这里必须指出，大多数学生在学习柯西不等式时会遇到不少困难，特别是不等式形式的记忆，不等式应用的灵活性等诸方面，更会使学生置身于云里雾里。笔者在教学中为了方便学生记忆，编制了如下的顺口溜：“大端括号乘括号，小端括号添平方。未平方的平方和，已平方的积成和。同学呀，切莫忘！两端相等须若何？”实践证明，顺口溜对公式记忆的效果是显著的。

柯西不等式是一个公式，公式总要涉及到应用的问题，公式的应用不外乎“顺用”、“逆用”、“变用”这三种用法，下面来举例说明这三种用法，由于篇幅所限每道例题只作分析，读者阅后自己完成证明将会十分容易。

首先要掌握的是公式的“顺用”，这里指的是从大端到小端的应用。

例1、设，且。

求证：

分析：根据柯西不等式的特征和，要证的不等式可变形为，左边第一个括号中的可看成个1的和，再把余下的1利用条件代掉即可得到需要证明的不等式，即：

，这就是柯西不等式，它的成立是不言而喻的。

其次要掌握的是公式的“逆用”，这里指的是从小端到大端的应用。

例2、已知求的最小值.

分析：

当且仅当时等号成立

本题的解题过程告诉我们，柯西不等式中的三个括号，如果其中两个是定值，则必可求出余下一个括号的最值。

最后要掌握的是公式的”变用”，这里指的是对整个公式作灵活应用，是公式应用中的最高层次。